矩阵计算：A^2-A-2E=0，证明A，A+2E都可逆

我们需要证明A和2E都是可逆矩阵，即存在其逆矩阵。

首先，由于A^2-A-2E=0，可以将其转化为A(A-I)-2E=0，进一步得到A(A-I)=2E。

若A不可逆，则存在非零向量x使得Ax=0，进而有A(A-I)x=-2x，即2x是A(A-I)的非零特征向量，但这与A(A-I)是可逆矩阵（因为其行列式不为0）矛盾，因此A是可逆矩阵。

同理，由于A(A-I)=2E，若2E不可逆，则存在非零向量y使得2Ey=0，进而有A(A-I)y=0，即y是A(A-I)的非零特征向量，但这与A(A-I)是可逆矩阵矛盾，因此2E是可逆矩阵。

综上所述，A和2E都是可逆矩阵。

相关问题

8.设n阶方阵A满足:A2-A-2E=0，证明:A和 A+2E 都可逆.

首先，我们可以将原式重写为 A2 = A-2E。然后，我们可以将 A2 代入原式，得到 A(A-2E) - A-2E = 0，即 A(A-2E+A-1E) = E。因此，A 可逆，且 A-1 = A-2 + E。同样地，我们可以将 A 代入原式，得到 A2 - A-2E = 0，即 A(A+A-2E) = 2E。因此，A-2E 可逆，且 (A-2E)-1 = 1/2A。因此，A 和 A-2E 都可逆。

已知A^3−2A+I=0,怎么计算得到A^(-1)=2I-A^2

首先，我们可以将已知的等式稍微变形一下，得到：

A^3 = 2A - I

接下来，我们可以用这个式子来计算 A^2：

A^2 = A * A

A^2 = A * (2A - I) (根据上面的式子 A^3 = 2A - I)

A^2 = 2A^2 - A

A^2 - 2A^2 + A = 0

A^2 - A = 0

A * (A - I) = 0

因此，我们可以得出 A 的特征值为 0 或 1。

接下来，我们可以用矩阵的伴随矩阵来计算 A 的逆矩阵。定义 A 的伴随矩阵为 Adj(A)，则有：

A * Adj(A) = det(A) * I

其中，det(A) 是 A 的行列式。

由于 A 的特征值为 0 或 1，因此 det(A) = 0 或 1。如果 det(A) = 0，则 A 不可逆；如果 det(A) = 1，则有：

Adj(A) = A^-1

现在，我们来计算 Adj(A)。根据上面的式子 A^3 = 2A - I，我们可以得到：

A^2 = (2A - I) * A^-1

A^-1 = (2A - I) * A^-2

将 A^2 = A * (2A - I) 和 A^-1 = (2A - I) * A^-2 代入上面的式子，得到：

(2A - I) * A^-2 = (2A - I) * (A * (2A - I))^-1

A^-2 = (A * (2A - I))^-1

A^-2 = (2A^2 - A)^-1

将题目中已知的等式 A^3 - 2A + I = 0 代入上面的式子，得到：

A^-2 = (A^3 + I)^-1

因此，我们可以得到：

Adj(A) = A^-1 = (A^3 + I)^-1

代入题目中已知的等式 A^3 - 2A + I = 0，得到：

Adj(A) = A^-1 = (2A - A^3)^-1 = 2(A - A^2)^-1

因此，我们得到了 A 的逆矩阵：

A^-1 = 2(I - A^2)