帮我求f(x)=x*log(cosx)的maclaurin展式

好的，首先我们需要求出$f(x)$在 $x=0$ 处的各阶导数，然后代入Maclaurin公式中即可得到展式。

$$f(x) = x\cdot\log(\cos x)$$

首先求导数：

$$\begin{aligned}f'(x) &= \log(\cos x) - x\tan x\\ f''(x) &= -\sin x\sec^2x - \tan x - x\sec^2x\\ f'''(x) &= -\cos x\sec^4x - 3\sec^2x - 2x\sec^4x\\ f^{(4)}(x) &= \sin x \cdot (5\sec^6x + 6\tan^2x\sec^4x + \sec^4x + 4x\tan x\sec^6x) \end{aligned}$$

由此可以看出，$f(x)$的奇数阶导数在 $x=0$ 处均为 $0$，因此只需考虑 $f(x)$ 的偶数阶导数。将前 $4$ 阶导数代入Maclaurin公式：

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(2n)}(0)}{(2n)!}x^{2n}$$

代入可得：

$$\begin{aligned} f(x) &= x^2\cdot \frac{-1}{2!} + x^4\cdot \frac{-1}{4!} - x^6\cdot\frac{1}{6!} - x^8\cdot\frac{3}{8!} + \cdots\\ &= -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots \end{aligned}$$

因此，$f(x)$的Maclaurin展式为：

$$f(x) = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots$$

希望能够对你有所帮助。