本题要求对任意给定的正整数n，求方程x 2 +y 2 =n的全部正整数解

对于任意给定的正整数n，求方程x²+y²=n的全部正整数解。

这个问题可以通过枚举x和y的值来解决。我们可以从1开始枚举x的值，然后计算y的值，看是否满足方程x²+y²=n。如果满足，那么(x,y)就是一个正整数解。

具体来说，我们可以从1枚举到√n，对于每个x的值，计算y的值，如果y是整数，且x²+y²=n，那么(x,y)就是一个正整数解。需要注意的是，由于x²+y²=n和y²+x²=n是等价的，因此我们只需要枚举x的值，不需要枚举y的值。

需要注意的是，如果n是奇数，那么x和y必须都是奇数或者都是偶数，否则方程x²+y²=n无解。如果n是偶数，那么x和y必须一个是奇数，一个是偶数，否则方程x²+y²=n无解。

综上所述，我们可以通过枚举x的值来求解方程x²+y²=n的全部正整数解。

相关问题

本题要求对任意给定的正整数n，求方程x 2 +y 2 =n的全部正整数解。

### 回答1：
对于给定的正整数n，可以使用枚举法求出x^2 + y^2 = n的所有正整数解。具体来说，可以从1开始，遍历到根号n的整数部分，对于每个x值，求出y = sqrt(n-x^2)的值，如果y是整数，就是一组解。

### 回答2：
对于任意一个正整数n，我们需要找到方程x²+y²=n的所有正整数解。这个问题可以通过以下步骤来求解：

1. 枚举x的所有可能取值。注意到x的范围为1到根号n，因为当x超过根号n时，x²+y²>n，不可能存在解。

2. 对于每一个x的取值，求出y的取值。我们可以将y²=n-x²来求解y的取值，注意判断y²是否为正整数。当y²为正整数时，说明找到了一个解。

3. 将所有找到的x和y构成的解记录下来。

需要注意的是，x和y的取值不一定只有一个，可能存在多组解。此外，当n不能表示成两个正整数的平方和时，方程x²+y²=n无解。

综上所述，我们可以通过以上步骤来求解任意正整数n对应的方程x²+y²=n的全部正整数解。

### 回答3：
任意给定一个正整数n，我们可以通过分解质因数的方法将n表示为若干个不同质数的幂的积，即n = p1a1 * p2a2 * ... * pnan，其中pi为质数，ai为不小于1的整数。

接下来考虑方程x²y² = n的正整数解。根据题目要求，我们需要求出所有满足条件的正整数x和y的组合。根据方程两边取平方根的性质，我们可以将方程变形为xy = √n，即x和y的乘积等于n的平方根。

由于n可以分解为若干个不同质数的幂的积，我们可以将xy分解为若干个不同质数的幂的积，即xy = p1b1 * p2b2 * ... * pnbn，其中bi为不小于0的整数。此时，我们可以将x和y分别表示为p1c1 * p2c2 * ... * pncn和p1d1 * p2d2 * ... * pndn的形式，其中ci和di均为不小于0的整数且ci + di = bi。

将x和y代入xy = √n中，得到：

(p1c1 * p2c2 * ... * pncn) * (p1d1 * p2d2 * ... * pndn) = p1a1/2 * p2a2/2 * ... * pnan/2

由于等式两边的各个因数都是不同质数的幂，因此我们可以将其拆成若干个相等的因数，得到：

p1c1 * p1d1 = p1a1/2
p2c2 * p2d2 = p2a2/2
...
pn cn * pndn = pnan/2

对于每一个质数pi，我们需要找到所有满足以上等式的ci和di的组合（注意ci和di的和等于该质数的幂除以2，即bi = ai/2）。

例如，假设n = 3600，可以进行如下分解：

n = 2^4 * 3^2 * 5^2

因此，对于质数2，有以下的等式：

c1 + d1 = 2
c1 * d1 = 2^2

解得c1 = 1，d1 = 1或c1 = 2，d1 = 0。因此，对于质数2，x和y的因数可以是2或4。

同理，对于质数3和质数5，我们也可以找到所有可能的ci和di的组合，从而求出所有可能的x和y的因数。

最后，将相同个数的因数组合在一起，即可得到所有满足方程xy = √n的正整数解。由于x和y是可以交换的，因此也要将两个因数的顺序进行调换。

综上所述，我们可以通过分解n的质因数以及求解ci和di的组合，找到方程x²y² = n的全部正整数解。

本题要求对任意给定的正整数n，求方程x 2 +y 2 =n的全部正整数解。 输入格式： 输入在一行中给出正整数n（≤10000）。 输出格式： 输出方程x 2 +y 2 =n的全部正整数解，其中x≤y。每组解占1行，两数字间以1空格分隔，按x的递增顺序输出。如果没有解，则输出no solution。

题目描述

给定一个正整数n，求方程x2+y2=n的全部正整数解。

输入格式：
输入在一行中给出正整数n（≤10000）。

输出格式：
输出方程x2+y2=n的全部正整数解，其中x≤y。每组解占1行，两数字间以1空格分隔，按x的递增顺序输出。如果没有解，则输出no solution。

样例

输入样例：
884
输出样例：
10 28
20 26
没有解

算法1

(暴力枚举) $O(n\sqrt{n})$

枚举x和y，判断是否满足条件。

时间复杂度

参考文献

python3 代码

C++ 代码

算法2

(暴力枚举) $O(n\sqrt{n})$

blablabla

时间复杂度

参考文献

C++ 代码