求解233x+1559173440y=1 要求x为正整数y为整数
时间: 2024-06-08 08:08:49 浏览: 16
我们可以使用扩展欧几里得算法来求解此问题。该算法可以在求解形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的不定方程时使用。
我们将该方程变形为 $233x = 1 - 1559173440y$,然后将其转化为形如 $ax+by=gcd(a,b)$ 的不定方程。令 $a=233$,$b=1559173440$,则有:
$$
\begin{aligned}
gcd(233, 1559173440) &= gcd(233, 1559173440 \bmod 233) \\
&= gcd(233, 39) \\
&= gcd(39, 233 \bmod 39) \\
&= gcd(39, 17) \\
&= gcd(17, 39 \bmod 17) \\
&= gcd(17, 5) \\
&= gcd(5, 17 \bmod 5) \\
&= gcd(5, 2) \\
&= gcd(2, 5 \bmod 2) \\
&= gcd(2, 1) \\
&= 1
\end{aligned}
$$
因此 $233$ 和 $1559173440$ 互质,即 $gcd(233,1559173440)=1$。根据扩展欧几里得算法,我们可以求出 $233x+1559173440y=1$ 的一组解 $(x_0,y_0)$。
具体来说,我们可以从最后一个等式 $2\times1+5\times(-2)=1$ 开始,依次向前计算,得到:
$$
\begin{aligned}
1 &= 2\times1+5\times(-2) \\
&= 17\times(-2)+39\times5 \\
&= 39\times5+233\times(-1)
\end{aligned}
$$
因此,$(x_0,y_0)=(-1,5)$ 是 $233x+1559173440y=1$ 的一组解。
注意到 $233$ 是正整数,因此我们需要找到一组解 $(x,y)$,使得 $x>0$。由于 $233$ 和 $1559173440$ 互质,我们可以得到另一组解 $(x_1,y_1)$,满足 $x_1=x_0+k\times b$,$y_1=y_0-k\times a$,其中 $k$ 是任意整数,$a=233$,$b=1559173440$。
我们可以将 $k$ 从 $1$ 开始依次增加,计算出一组组解 $(x_k,y_k)$,直到 $x_k>0$。具体来说,我们有:
$$
\begin{aligned}
x_1 &= x_0+b = -1+1559173440 = 1559173439 \\
y_1 &= y_0-a = 5-233 = -228 \\
x_2 &= x_1+b = 1559173439+1559173440 = 3118346879 \\
y_2 &= y_1-a = -228-233 = -461 \\
\cdots \\
x_{6721925} &= x_{6721924}+b = 1559173440\times 6721925 = 10493481709600 \\
y_{6721925} &= y_{6721924}-a = -233\times 6721925 = -1565426925 \\
\end{aligned}
$$
因此,$(x,y)=(10493481709600,-1565426925)$ 是满足要求的一组解。
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