一只猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾,又多吃了一个;第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半加一个。到第N天早上想再吃时,见只剩下一个桃子了。问:第一天共摘了多少个桃子?
时间: 2023-05-31 13:05:58 浏览: 75
假设第一天摘了x个桃子,则:
第一天剩下的是x/2 - 1个桃子;
第二天早上吃掉了x/2 - 1个桃子,还剩下x/2 + 1个桃子,即(x/2 - 1)/2个桃子;
第三天早上吃掉了(x/2 - 1)/2个桃子,还剩下(x/2 + 1)/2 + 1个桃子,即((x/2 - 1)/2 - 1)/2个桃子;
以此类推,第N天早上只剩下一个桃子,则:
((...((x/2 - 1)/2 - 1)/2 - 1)...)/2 - 1 = 1
其中,括号内共有N-2个除号。将等式两边都加上1,然后将1移到等式右边,得到:
((...((x/2 - 1)/2 - 1)/2 - 1)...)/2 = N-1
其中,括号内共有N-2个除号。我们可以反向推导:从括号内的最后一个除号开始,每个除号都将前一个数乘以2再加1,最后得到的就是x。即:
x = ((((2(N-1)+1)*2+1)*2+1)*...+1)*2+1
其中,括号内共有N-2个2和1的交替。将这个式子代入计算,得到:
x = 16383
所以,第一天共摘了16383个桃子。
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一只猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾,又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半,又多吃了一个,以后每天早上都吃掉前一天剩下的一半零一个,第十天早上,发现只剩下一个。那么第一天猴子摘了多少个桃子呢?
假设第十天早上只剩下一个桃子,那么第九天晚上猴子手中有2个桃子,第九天早上猴子手中有(2+1)*2=6个桃子,以此类推,可以得到第一天猴子摘了1534个桃子。
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假设第一天摘了x个桃子,则第二天剩下的桃子为(x/2-1)*2=x-2个桃子,第三天剩下的桃子为((x/2-1)/2-1)*2=x/4*3-7个桃子,以此类推,第十天剩下的桃子为(x/2^9-1)*2=1个桃子。解方程可得x=1023。
因此,第一天摘了1023个桃子。