2. 求函数 f(x) 在指定区间上对于Φ=span{1, x, x2}的最佳平方逼近多项式: a) f(x)=1/(x+1), x∈[0, 1] b) f(x)=sin(x), x∈[0, π]

a) 对于 f(x)=1/(x+1), x∈[0, 1]，我们需要找到最佳平方逼近多项式 p(x) = a0 + a1x + a2x^2，使得 p(x) 在指定区间上对于Φ=span{1, x, x^2}的最佳平方逼近多项式。

首先，我们需要计算出Φ的正交基，即 Gram-Schmidt 正交化过程。我们有：

φ1(x) = 1
φ2(x) = x - (1/2) ∫0^1 xφ1(t)dt = x - (1/2)
φ3(x) = x^2 - ∫0^1 x^2φ1(t)dt - ∫0^1 xφ2(t)dt = x^2 - (1/3)x - (1/4)

然后，我们可以计算出每个基函数在指定区间上的内积：

∫0^1 φ1(x)^2 dx = 1
∫0^1 φ2(x)^2 dx = 1/3
∫0^1 φ3(x)^2 dx = 1/5

接下来，我们可以计算出每个基函数与 f(x) 在指定区间上的内积：

∫0^1 f(x)φ1(x) dx = ln(2)
∫0^1 f(x)φ2(x) dx = ln(2) - 1
∫0^1 f(x)φ3(x) dx = (7/12) - ln(2)/3

现在，我们可以使用正交基函数和内积来计算最佳平方逼近多项式 p(x) 的系数。具体地，我们有：

a0 = ∫0^1 f(x)φ1(x) dx / ∫0^1 φ1(x)^2 dx = ln(2)
a1 = ∫0^1 f(x)φ2(x) dx / ∫0^1 φ2(x)^2 dx = 3/2 (ln(2) - 1)
a2 = ∫0^1 f(x)φ3(x) dx / ∫0^1 φ3(x)^2 dx = 1/5 (7 - 12 ln(2))

因此，最佳平方逼近多项式为 p(x) = ln(2) + (3/2)(x - 1/2) + (1/5)(x^2 - (1/3)x - (1/4))。

b) 对于 f(x)=sin(x), x∈[0, π]，我们按照与上面相同的步骤来计算最佳平方逼近多项式。首先，我们计算出Φ的正交基：

φ1(x) = 1
φ2(x) = x - (1/2) ∫0^π xφ1(t)dt = x - (π/2)
φ3(x) = x^2 - ∫0^π x^2φ1(t)dt - ∫0^π xφ2(t)dt = x^2 - πx/2 - π^2/12

然后，我们计算每个基函数在指定区间上的内积：

∫0^π φ1(x)^2 dx = π
∫0^π φ2(x)^2 dx = π^3/3 - π^2 + π/2
∫0^π φ3(x)^2 dx = π^5/15 - π^4/2 + π^3/3 - π^2/4

接下来，我们计算每个基函数与 f(x) 在指定区间上的内积：

∫0^π f(x)φ1(x) dx = 2
∫0^π f(x)φ2(x) dx = 0
∫0^π f(x)φ3(x) dx = 4/3

现在，我们可以使用正交基函数和内积来计算最佳平方逼近多项式 p(x) 的系数。具体地，我们有：

a0 = ∫0^π f(x)φ1(x) dx / ∫0^π φ1(x)^2 dx = 2/π
a1 = ∫0^π f(x)φ2(x) dx / ∫0^π φ2(x)^2 dx = 0
a2 = ∫0^π f(x)φ3(x) dx / ∫0^π φ3(x)^2 dx = 4/π^2

因此，最佳平方逼近多项式为 p(x) = (2/π)x^2 + (4/π^2)(x^2 - πx/2 - π^2/12) = (2/π)x^2 - (8/π^3)x + (1/3)。