有无穷多个开关,依次编号为 0,1,2,3,……。一开始,只有0号开关是打开的,其余都是关闭的。每次操作可以任意选取非负整数n,改变n号,(n+1)号,(n+4)号开关的状态。若进行有限次操作之后,恰有一个开关是打开的,求这个开关的编号的所有可能值。
时间: 2023-08-31 18:28:47 浏览: 65
### 回答1:
如果一个开关是打开的,它的编号就满足以下条件:
1.它是 0 的倍数
2.它的二进制表示中只有一个 1
3.它是 4 的倍数
所以这个开关的编号的所有可能值为 0, 4, 8, 12, 16, ……
### 回答2:
根据题意,一开始只有编号为0的开关是打开的,经过一系列操作后,我们要求只有一个开关是打开的情况下,这个开关的编号可能有哪些。
首先,能改变某个开关状态的开关只有三个,即当前操作选取的开关n,和其对应的(n-1)和(n-4)开关。所以,在我们只操作了当前开关的情况下,如果有一个开关是打开的,那么这个开关的编号一定是n、n-1或n-4。
其次,我们已经知道在只操作了一个开关的情况下,这个开关的编号可能为n、n-1或n-4,那么我们要考虑进行第二个操作时,打开的开关是哪一个。如果第二个操作选择了已经被第一个操作打开的开关,那么这两个操作相当于一个操作,因为第一个操作已经将n、n-1或n-4位置的开关打开了,所以第二个操作不会改变这个开关的状态。所以,我们只需要考虑第二个操作选择了其他的开关时,情况会怎样。此时,第二个操作只能选择编号与第一个操作不同的开关,所以可能的选择有n-1、n、n+1、n-4、n+4和n-3。这意味着,第一个操作选出的那个开关的编号是多少,我们可以进行六次操作,每次选择其中一个可能的编号,最后只有一个开关是打开的。
总结起来,只进行一次操作时,可能打开的开关的编号为n、n-1、n-4;而进行两次操作时,可能打开的开关的编号为n-1、n、n+1、n-4、n+4和n-3。我们可以根据这个规律进行推广,如果进行k次操作,则可能打开的开关的编号为n-k、n-k+1、...、n、n+1、n+2、...、n+k-1、n+k-2。其中,n-k和n+k-2是两种操作选出的编号。
综上所述,当进行有限次操作之后,恰有一个开关是打开的时候,这个开关的编号可能的取值有n、n-1、n-4、n-2、n+2、n-3、n+4、...、n+k-1、n+k-2、n-k、其中k为进行的操作次数。
### 回答3:
我们可以通过模拟操作来找到打开的开关的编号的可能值。
首先,0号开关是打开的,也就是说操作了0号开关之后,它会变成关闭状态。我们可以选择操作0号开关,将其状态翻转。
接下来,我们可以选择操作1号开关。当我们操作1号开关时,它会改变1, 2, 5号开关的状态。而此时0号开关是关闭的,所以我们操作1号开关之后,1号开关和5号开关的状态会翻转。
然后,我们可以选择操作2号开关。当我们操作2号开关时,它会改变2, 3, 6, 9号开关的状态。此时0号开关和1号开关都是关闭的,所以我们操作2号开关时,2号开关、3号开关、6号开关和9号开关的状态都会翻转。
我们可以继续选择操作其他的开关,每次都将操作开关的编号记为n。我们发现,当操作编号为n的开关时,它会改变n, (n+1), (n+2n)…的状态,直到找到一个编号大于n的最小的开关,它的状态不再被改变。
根据这个规律,我们可以得到以下结论:对于给定的非负整数n,只有当n是一个完全平方数时,经过有限次操作之后,恰有一个开关是打开的。那么这个打开的开关的编号就是n。
所以,对于给定的非负整数n,我们只需要找出小于等于n的完全平方数,就是操作之后可能打开的开关的编号。