共轭梯度法与一维搜索：进退法与黄金分割法求函数极小值

"使用共轭梯度法寻找函数极小值，结合进退法与黄金分割法确定步长" 共轭梯度法是一种高效且适用于求解大型线性系统的迭代优化方法，尤其在处理对称正定矩阵时效果显著。该方法在解决多元函数极小化问题时，通过构造一组共轭方向来逐步逼近最小值点，同时避免了存储和计算矩阵逆的过程，大大降低了计算复杂性。 在共轭梯度法中，首先需要计算当前迭代点的梯度，这代表了函数在该点的局部方向。对于给定的函数 `f(x1, x2) = x1^2 + x2^2 - x1*x2 - 10*x1 - 4*x2 + 60`，其梯度由函数的偏导数组成，即 `G1(x1, x2) = 2*x1 - x2 - 10` 和 `G2(x1, x2) = 2*x2 - x1 - 4`。这些值表示了函数在每个自变量方向上的变化率。 在求解步长时，我们有两种方法：进退法和黄金分割法。进退法是一种简单的一维搜索方法，通过逐步调整步长来找到一个使函数值下降的步长区间。初始步长 `a0` 可以设置为1，步长增量 `b0` 可以设置为0.5。通过比较不同步长下的函数值，可以不断缩小区间，直到找到一个合适的步长。 黄金分割法是另一种经典的一维搜索策略，它利用黄金比例（约为1.618）来分割搜索区间，寻找使得函数值下降最多的步长。这种方法通常比进退法更高效，因为它在每次迭代时都尽可能接近最优解。 在程序中，`HJFC` 函数执行了一维搜索过程，首先尝试了进退法确定步长区间，然后可能使用黄金分割法在该区间内找到最佳步长。这个过程涉及到多次函数评估，因此选择合适的步长策略对于优化效率至关重要。 在实际应用中，共轭梯度法通常与预条件技术结合，以加速收敛速度。此外，为了保证算法的稳定性，还需要设定一个终止条件，例如当梯度模（即函数在当前方向的变化率）小于某个阈值 `eps` 时，认为已经找到了足够接近极小值的点。 总结来说，这个程序使用共轭梯度法配合一维搜索策略（进退法和黄金分割法）来求解多元函数的最小值。通过不断迭代更新迭代点，并结合一维搜索确定合适的步长，可以有效地逼近目标函数的全局最小值。在实际编程实现时，还需要注意数值稳定性和计算效率的问题。