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理论计算机科学电子札记73(2004)207-211www.elsevier.com/locate/entcs基于有向完备偏序集的扩展抽象C.F. 汤森英国米尔顿凯恩斯开放大学摘要对“通过有向完备偏序集表示局部拉回”一文的主要结果进行了总结。在这里,框架被看作是有向完备偏序集(dcpos)范畴中的有序内部分布格,而不是将框架(即locale的开集格)建模为上格范畴中的环对象(遵循Joyal和Tiernery)。有向完备偏序集的表示在几何态射下是稳定的,这提供了一个左伴随的直接图像函子应用于dcpos。这个附加专门用于对内部分配格进行排序,从而描述沿着任何几何态射的locale pullback。重新陈述的情况下dcpos允许一个新的描述triquotient分配给(推广普莱维的工作局部triquotient满射,并按照工作维克斯)。 该描述允许恢复正确和开放的区域设置映射的拉回稳定性结果。另一个新的应用程序,描述了有向连接保持框架之间的映射在某些自然的变换索引的几何态射在一个基地拓扑。关键词:拓扑理论,locale理论,基的变化,格理论,生成元和关系,三商,真映射,开映射,dcpos1局部拉回作为左伴随几何态射的直接像部分保持了超格(即完备偏序集),因此从一个拓扑内部的超格到余域拓扑内部的超格定义了一个函子。Joyal和Tierney在[2]证明这个函子有一个左伴随。这个看似高度技术性的观察具有重要的意义,因为它专门研究帧(完整的1571-0661 © 2004 Elsevier B. V.根据CC BY-NC-ND许可证开放访问。doi:10.1016/j.entcs.2004.08.013208C.F. Townsend / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 73(2004)207-Heyting代数),因此提供了一个描述拉回的区域沿几何态射。(回想一下,拉回可以被描述为一个右伴随,并且locale的类别与frame相反。这个结果的技巧是使用suplattice表示。表示(作为形式对象)在几何态射的逆像下是稳定的这是左伴随的,相当于检查在由几何态射的附加定义的双射下,满足R对应于满足f<$R的映射,其中R是表示,f是几何态射。所以R为空的情况是直接的,因为一组生成元上的幂集形成自由子格(并且f∈φ=φ)。这个结果可以推广到有向完全偏序(所有有向子集都有连接的同样的技巧也被用来证明这一点,因此,首先,需要验证dcpo表示存在(即定义良好)。这个结果似乎是民间传说(例如[3]),并且可以以完全建设性的方式证明(并且没有使用自然数对象)。左伴随再次描述了区域沿着几何态射的拉回,因为我们能够将帧描述为dcpos范畴中的特定对象。事实上,这可以做到的方式是不符合Joyal和蒂尔尼的看法框架的类型环suplattice张量。在dcpos的有序充实范畴中,框架是内部分配格的新观点。所需的内在性是强的,因为内部分配格的连接和满足操作需要与给定的阶富集一致。证明dcpo张量与乘积是同一个东西是很容易的,因此内部分配格被左伴随保持。这就定义了localepullback。2三商赋值有了这个左伴随的存在,一些已知的结果可以恢复:例如,开映射和真映射是拉回稳定的。事实上,这些结果可以通过观察具有三商赋值(dcpo同态的类型)的区域映射来证明;这些区域映射以自然的方式推广了真映射和三商赋值的定义是:定义2.1(改编自Vickers,“双幂区域和区域的三商地图”,未发表的注释。一个locale mapp:Z→Y有一个三商赋值,如果存在p#:Z→Y一个dcpo同态,使得C.F. Townsend / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 73(2004)207-209→Ep#(c1<$[c2<$$>p(b)])=[p#c1<$b]<$p#(c1<$c2)其中,c1,c2∈Z,cb∈Y。这些赋值在任何方面都不是唯一的,并且定义比通常的三商定义弱得多(例如[4]),因为具有三商赋值的区域映射不需要是满射的,而文献中的拉回dcpo同态的能力允许描述的三商分配的dcpo同态内部的拓扑层的余域区域。上的三商赋值locale mapg:Y→Z是dcpo同态YSZ(Yg)→YSZ在SZ内部,其中,在Joyal和Tierney的关于Z上的切片和Z上的层拓扑内部的框架范畴之间的众所周知的对应关系下,ZSZ(Yg)是对应于场所映射g:Y Z这些dcpo同态(SZ内部)在基变化下是稳定的,使得具有三商分配的映射的拉回稳定性结果得以实现。这专门用于适当和开放地图的拉回稳定性,因为所涉及的额外的有限数据通过相关调整保留Beck-Chevalley条件可以被验证,因此结果进一步专门化为三商、真满射和开满射。因此,[4]、[9]和[2]的拉回稳定性结果分别以统一的方式恢复(尽管关于下降的相关结果仍作为进一步的工作)。3Topos理论应用使用这种“dcpo技术”可获得的主要新观察结果可以证明,框架之间的dcpo映射正是由几何态射索引的某些函子之间的自然变换。函子是ΛEW:(Top/E)op→SET(h:EJ→ E)<$−→Top(EJ×EW,S)对 于 任 何 帧 , 对 应 于 中 的 场 所 W 。 这 里 S 是 ( toposoffsheavescorrespondinggtothe)Sierpinn′skilocale. SET是可能的大集合的某些基本210C.F. Townsend / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 73(2004)207-4适当的开放对偶性通过将框架的无穷有向连接结构从无穷(分配格)结构中清楚地分离出来,人们希望进一步阐明存在于真与开之间的平行关系(例如[6]),因为这种平行关系的基础似乎是无穷结构是对偶的,而无穷结构保持固定。因此,一个单一的拉回稳定性的结果是可用的(现场地图与三商分配),专门(双重)的适当和开放的地图已知的拉回稳定性的结果汤森/维克斯结果的重要性似乎在于,它为固定在这种二元性之下的那部分场所理论提供了一种外部描述。这有可能应用于连续性概念的公理化。通过进一步扩展到几何态射,这项工作因此可以更深入地了解拓扑理论中的真与开之间的平行关系。5进一步工作这项工作的一个无形的动机是试图回答这样一个问题,即与上层权力场所相类似的topos理论应该是什么(见[1]和[5]的B4.5)?更广泛地说,也更简单地说:格罗滕迪克拓扑的dcpo表示的拓扑理论版本是什么? 我们希望dcpo同态的结果的结构将适用于topos理论的背景下(即,toposes在locale的地方)。因此,我们以一个猜想5.1Grothendieck拓扑E、EJ和自然变换Λ E→. AEJ,whhereinthiscontextΛE:(BTop/Set)op→SET(h:F→Set)›−→BTop/Set(F ×SetE,[Set])而[Set]则是对象的分类器。引用[1] 约翰斯通,P.T. 大象的素描:拓扑理论纲要。第1、2卷,牛津逻辑指南43、44,牛津科学出版社,2002年。[2] Joyal,A.和Tierney,M. Grothendieck的伽罗瓦理论的扩展,美国数学学会回忆录309,1984。[3] Markowsky,George,《Categories of chain-complete posets》。理论计算。Sci. 4(1977),125-135.C.F. Townsend / Electronic Notes in Theoretical Computer Science 73(2004)207-211[4] Plewe,T. Proc. CambridgePhilos.Soc.122(1997),17-43.[5] Karazeris,P.,Categorical Domain Theory:Scott topology,powergocategies,coherentcategories。Theory and Applications of Categories,Vol.9,No. 6,(2001),106-120.[6] Townsend,C.F. 前框架技术在建构性场所理论中的应用,博士论文,1996年,伦敦帝国学院。[7] Townsend,C.F. Vickers,S.J.,A Universal Characterization of the Double Power Locale。出现(2002年)。[8] Vickers,S.J.,《双幂区域和幂运算:几何逻辑的一个案例研究》。出现。[9] Vermeulen,J.J.C. 当地的地图。Journal of Pure and Applied Algebra92(1994),79-107.
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