已知X(z)＝(2-0.5z∧(-1))/((1+z∧(-1))(1-2z∧(-1)))，求不同收敛域时对应的x[k]

### 回答1：
根据题目中给出的 X(z) 的表达式，我们可以将其分解为两个部分：

X(z) = (2 - 0.5z^(-1)) / ((1 - z^(-1))(1 - 2z^(-1)))

我们可以使用部分分式分解的方法将其拆分为两个分式：

X(z) = A / (1 - z^(-1)) + B / (1 - 2z^(-1))

其中 A 和 B 是待求系数。将 X(z) 乘以分母，得到：

(2 - 0.5z^(-1)) = A(1 - 2z^(-1)) + B(1 - z^(-1))(1 - 2z^(-1))

将 z 取 2，得到：

1 = A

将 z 取 1/2，得到：

-1 = -0.5A + B

解得：

A = 1

B = -0.5

因此，X(z) 可以表示为：

X(z) = 1 / (1 - z^(-1)) - 0.5 / (1 - 2z^(-1))

根据 Z 变换的性质，我们可以将 X(z) 表示为时域序列 x[k] 的 Z 变换：

X(z) = ∑(k=0,∞) x[k] z^(-k)

将 X(z) 的表达式代入，得到：

1 / (1 - z^(-1)) - 0.5 / (1 - 2z^(-1)) = ∑(k=0,∞) x[k] z^(-k)

移项，得到：

x[k] = 1 - 0.5 * 2^(-k)

因此，当收敛域为 |z| > 2 时，x[k] = 1；当收敛域为 1 < |z| < 2 时，x[k] = 1 - 0.5 * 2^(-k)。

### 回答2：
首先，我们需要将X(z)展开为部分分式的形式。根据给定的X(z)表达式，可以得出分母的两个因子为 (1-2z^(-1)) 和 (1-z^(-1))，因此我们可以将X(z)表示为以下部分分式形式：

X(z) = A/(1-2z^(-1)) + B/(1-z^(-1))

其中A和B是待定常数。

通过通分的方式，我们可以得到：

X(z) = (A(1-z^(-1)) + B(1-2z^(-1))) / ((1-2z^(-1))(1-z^(-1)))

将分子展开并合并同类项，得到：

X(z) = (A - Az^(-1) + B - 2Bz^(-1))/(1-2z^(-1))(1-z^(-1))

将X(z)与原始给定的X(z)进行对比，可以得到两个方程：

A - B = 2-0.5z^(-1)
-A - 2B = 0

解以上方程，得到A = 4/3，B = -2/3。

将A和B的值代入部分分式表达式中，得到：

X(z) = 4/3/(1-2z^(-1)) - 2/3/(1-z^(-1))

现在我们可以根据部分分式的形式，进行逆Z变换，得到对应的x[k]序列。

X(z) = 4/3/(1-2z^(-1)) - 2/3/(1-z^(-1))

通过Z变换表格可知，对于 (1-aq^(-1))^(-1)，其逆Z变换为 a^k。

因此，我们得到：

x[k] = (4/3)(2^k) - (2/3)(1^k)

x[k] = (4/3)(2^k) - (2/3)

以上即为根据不同收敛域所对应的x[k]序列的求解过程及结果。

### 回答3：
根据给出的Z变换 X(z) 的表达式:
X(z) = (2 - 0.5z^(-1)) / ((1- z^(-1))(1 - 2z^(-1)))

首先，我们观察分母的特征方程 (1- z^(-1))(1 - 2z^(-1)):
1- z^(-1) = 0
z^(-1) = 1
z = 1

1 - 2z^(-1) = 0
z^(-1) = 1/2
z = 2

因此，对于此分式的部分，我们可以确定两个极点 (z = 1, z = 2)。
由于极点只能出现在单位圆外，所以我们可以得出两种情况。

1. 当收敛域为 |z| < 1 时 (即不包括 z = 1 和 z = 2)，我们可以使用部分分式法来展开 X(z) 为 x[k] 的形式。

X(z) = A1 / (1-z^(-1)) + A2 / (1-2z^(-1))

我们可以得到:
A1 = lim(z->1) (z - 1) X(z)|z=1
= lim(z->1) (z - 1) [(2 - 0.5z^(-1))/((1- z^(-1))(1 - 2z^(-1)))]
= (2 - 0.5) / ((1-1)(1 - 2))
= 1.5

A2 = lim(z->2) (z - 2) X(z)|z=2
= lim(z->2) (z - 2) [(2 - 0.5z^(-1))/((1- z^(-1))(1 - 2z^(-1)))]
= (2 - 0.5*2^(-1)) / ((1-2^(-1))(1 - 2*2^(-1)))
= 1.333

因此，我们可以得到:
X(z) = 1.5 / (1-z^(-1)) + 1.333 / (1-2z^(-1))

通过部分分式的逆变换，我们可以得到相应的 x[k]:
x[k] = 1.5u[k] + 1.333 * (2^k) u[k]

其中，u[k] 是单位阶跃函数，当 k ≥ 0 时，u[k] = 1，否则等于 0。

2. 当收敛域为 |z| > 1 时 (即包括 z = 1 和 z = 2)，X(z) 无法通过部分分式法展开为 x[k] 的形式。在这种情况下，我们无法确定对应的 x[k]。