题目:有一分数序列:2/1,3/2,5/3,8/5,13/8,21/13...求出这个数列的前20项之和。
时间: 2023-05-31 09:18:16 浏览: 188
### 回答1:
这个数列是斐波那契数列的一种变形,每一项都是前两项的和,而且每一项的分子是前一项的分子加上前一项的分母,分母是前一项的分子。
所以,我们可以用循环来计算前20项的和:
sum =
a, b = 2, 1
for i in range(20):
sum += a / b
a, b = a + b, a
print(sum)
答案是:32.66026079864164
### 回答2:
这个数列叫做斐波那契数列的比值数列,它是由斐波那契数列相邻两项的比值构成的数列。斐波那契数列是一个非常有意思的数列,它的定义是:第1项和第2项都为1,从第3项开始,每一项都是前两项的和。也就是说,这个数列是:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765...
回到题目,我们需要求出这个比值数列的前20项之和。我们可以先手动计算一下这个数列的前几项:2/1=2,3/2=1.5,5/3=1.6667,8/5=1.6,13/8=1.625,21/13=1.6154...可以发现,这个数列越往后,相邻两项的比值越来越接近斐波那契数列的黄金分割比1.6180339...
我们有一个结论:斐波那契数列从第3项开始的每一项都是前一项的黄金分割比。利用这个结论,我们可以推导出这个比值数列的通项公式:an = (F(n+1)/F(n)),其中an表示这个比值数列的第n项,F(n)表示斐波那契数列的第n项。
因此,这个比值数列的前20项之和为:2+3/2+5/3+8/5+13/8+21/13+34/21+55/34+89/55+144/89+233/144+377/233+610/377+987/610+1597/987+2584/1597+4181/2584+6765/4181+10946/6765+17711/10946=32.66026
所以,这个数列的前20项之和是32.66026。
### 回答3:
这个数列可以写成数学式子,即:$$\frac{2}{1},\frac{3}{2},\frac{5}{3},\frac{8}{5},\frac{13}{8},\frac{21}{13},...,\frac{F_{n+1}}{F_n},...$$
其中,分母是斐波那契数列 $1,2,3,5,8,13,...$ 的前 $n$ 项,分子是斐波那契数列的后 $n$ 项。
要求这个数列的前 $20$ 项之和,需要先求出斐波那契数列的前 $21$ 项,可以列出如下表格:
| 项数 | 斐波那契数列 |
| --- | --- |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
| 5 | 8 |
| 6 | 13 |
| 7 | 21 |
| ... | ... |
| 20 | 6765 |
| 21 | 10946 |
然后将分子分母对应相加,并将结果累加,即可得到前 $20$ 项之和:
$$\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+\frac{5}{3}+\frac{8}{5}+\frac{13}{8}+\frac{21}{13}+...+\frac{10946}{6765}=\sum_{n=1}^{20}{\frac{F_{n+1}}{F_n}}=32.6603...$$
因此,这个数列的前 $20$ 项之和约为 $32.66$(保留两位小数)。
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