请举例说明如何使用欧几里得算法计算两个正整数的最大公约数，并详细分析其时间复杂度。

欧几里得算法是一种高效的计算两个非负整数a和b（不失一般性，我们假设a > b）的最大公约数（GCD）的方法。它的基本步骤是：如果b等于0，则最大公约数就是a；否则，将a替换为b，将b替换为a mod b（即a除以b的余数），然后重复这个过程直到b为0。以下是计算两个正整数最大公约数的伪代码示例：

参考资源链接：[算法设计与分析基础习题答案详解：gcd与欧几里得算法应用](https://wenku.csdn.net/doc/6401abbbcce7214c316e94d4?spm=1055.2569.3001.10343)

function gcd(a, b)
    while b ≠ 0
        t := b
        b := a mod b
        a := t
    return a

根据欧几里得算法的定义，我们可以看出它涉及到一系列的除法运算和取余操作。为了分析其时间复杂度，我们首先需要理解取模运算的时间复杂度。在大多数现代计算机中，取模运算的复杂度可以认为是O(1)。那么，每次循环中的取模运算时间复杂度也是O(1)。根据这个事实，我们可以推断出，算法的总时间复杂度是与b的初始值相关的O(log min(a, b))。

这归因于每次取模运算都会使b至少减小一半（在最坏的情况下），因此，算法通常在log min(a, b)步骤内就能达到b为0的终止条件。这个性质使得欧几里得算法非常适合用于计算大数的最大公约数，特别是当涉及到大整数的密码学算法中。

为了进一步理解和掌握欧几里得算法的应用，我推荐查看《算法设计与分析基础习题答案详解：gcd与欧几里得算法应用》这份资料。它不仅提供了gcd概念的详细介绍，还通过具体的习题应用和解析，帮助你更好地理解算法的原理和分析方法。在学习了欧几里得算法的原理后，这份资料将助你一臂之力，深入掌握其应用及复杂度分析，为解决实际问题打下坚实的基础。

参考资源链接：[算法设计与分析基础习题答案详解：gcd与欧几里得算法应用](https://wenku.csdn.net/doc/6401abbbcce7214c316e94d4?spm=1055.2569.3001.10343)