$$ T= \begin{cases} 0, & \text{如果 $v\cdot (1-a(x))\leq w\cdot a(x)$}\ 1, & \text{否则} \end{cases} $$

非常抱歉，我在回答之前有一个笔误。正确的消费者最优策略是：

$$
T=
\begin{cases}
0, & \text{如果 $v\cdot (1-a(x))\leq w\cdot a(x)$}\\
1, & \text{否则}
\end{cases}
$$

这个策略表示，当广告展示位置的权重 $w\cdot a(x)$ 大于消费者对广告的反感程度 $v\cdot (1-a(x))$ 时，消费者会选择接受广告，即 $T=0$；当 $w\cdot a(x)$ 小于 $v\cdot (1-a(x))$ 时，消费者会选择不接受广告，即 $T=1$。

非常感谢您的指正，希望这次回答能够更加准确地回答您的问题。

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将下列latex格式翻译为普通格式：$$\int_a^b f(x)K(x,y)g(y)dy=h(x)$$ 其中 $f,g,h$ 都是给定的函数，$K$ 是积分核，$a,b$ 是区间端点。退化核方法是解决这类方程的一种常用方法。 退化核逼近是指，将积分核 $K$ 逼近一个退化核 $K_d$,使得原方程在逼近核下近似成立。退化核 $K_d$ 可以表示为: $$K_d(x,y) = \begin{cases} K(x,y) & \text{if } x=y \ 0 & \text{if } x\neq y \end{cases}$$ 于是原方程可以表示为: $$\int_a^b f(x)K_d(x,y)g(y)dy=h(x)$$ 现在我们需要找到一个退化核 $K_d$,使得该逼近核下原方程成立。对于第二类 Fredholm 积分方程，我们可以使用退化核 $K_d$ 满足: $$K_d(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{if } x=y \ 0 & \text{if } x\neq y \end{cases}$$ 1.这个退化核 $K_d$ 满足以下条件:$K_d$ 在整个区间上是连续的。 2.$K_d(x,\cdot)$ 在 $x$ 的某个邻域内是单调递增的。 3.$K_d(\cdot,y)$ 在 $y$ 的某个邻域内是单调递减的。 这些条件确保了退化核 $K_d$ 能够逼近原积分核 $K$,使得原方程在逼近核下成立。具体地，我们可以将原积分方程改写为: $$\int_a^b f(x)\frac{1}{b-a}g(y)dy=h(x)$$ 将该方程代入退化核逼近中，可以得到一个线性代数方程组: $$\begin{bmatrix} \frac{b-a}{b} & 1 \ 1 & \frac{b-a}{b} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(x) \ g(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} h(x) \ 0 \end{bmatrix}$$ 其中 $b$ 是积分区间的长度。该线性代数方程组的解即为退化核逼近的解，也就是原积分方程的一个近似解。

下面是普通格式的翻译：

∫abf(x)K(x,y)g(y)dy=h(x)
其中 f、g、h 都是给定的函数，K 是积分核，a、b 是区间端点。退化核方法是解决这类方程的一种常用方法。退化核逼近是指，将积分核 K 逼近一个退化核 Kd，使得原方程在逼近核下近似成立。退化核 Kd 可以表示为：

Kd(x,y) = {
K(x,y) if x=y
0 if x≠y
}

于是原方程可以表示为：

∫abf(x)Kd(x,y)g(y)dy=h(x)

现在我们需要找到一个退化核 Kd，使得该逼近核下原方程成立。对于第二类 Fredholm 积分方程，我们可以使用退化核 Kd 满足：

Kd(x,y) = {
1/(b-a) if x=y
0 if x≠y
}

1.这个退化核 Kd 满足以下条件: Kd 在整个区间上是连续的。2.Kd(x,·) 在 x 的某个邻域内是单调递增的。3.Kd(·,y) 在 y 的某个邻域内是单调递减的。这些条件确保了退化核 Kd 能够逼近原积分核 K，使得原方程在逼近核下成立。具体地，我们可以将原积分方程改写为：

∫abf(x)(1/(b-a))g(y)dy=h(x)

将该方程代入退化核逼近中，可以得到一个线性代数方程组：

[ (b-a)/b 1 ] [ f(x) ] [ h(x) ]
[ 1 (b-a)/b ] [ g(x) ] = [ 0 ]

其中 b 是积分区间的长度。该线性代数方程组的解即为退化核逼近的解，也就是原积分方程的一个近似解。

$$\begin{cases} c_1+c_2+40=1\\ c_1\cdot(\frac{1+\sqrt{5}}{2})+c_2\cdot(\frac{1-\sqrt{5}}{2})+80=4\\ \end{cases}$$ c1和c2等于多少

我们可以使用高斯-约旦消元法解这个方程组。

首先将方程组写成增广矩阵的形式：

$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 40 \\ \frac{1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & 80-4\end{matrix}\right]$$

接着对第一列进行消元，使得第一行第一列元素为1：

$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 40 \\ \frac{1+\sqrt{5}}{2} & \frac{1-\sqrt{5}}{2} & 80-4\end{matrix}\right] \xrightarrow{\text{第二行减去$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$倍的第一行}} \left[\begin{matrix}1 & 1 & 40 \\ 0 & -\sqrt{5} & 20-2\sqrt{5}\end{matrix}\right]$$

然后对第二列进行消元，使得第二行第二列元素为1：

$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 40 \\ 0 & -\sqrt{5} & 20-2\sqrt{5}\end{matrix}\right] \xrightarrow{\text{第二行乘以$-\frac{1}{\sqrt{5}}$}} \left[\begin{matrix}1 & 1 & 40 \\ 0 & 1 & -4+\sqrt{5}\end{matrix}\right]$$

最后对第一列进行消元，使得第一行第二列元素为0：

$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 40 \\ 0 & 1 & -4+\sqrt{5}\end{matrix}\right] \xrightarrow{\text{第一行减去第二行}} \left[\begin{matrix}1 & 0 & 44-\sqrt{5} \\ 0 & 1 & -4+\sqrt{5}\end{matrix}\right]$$

因此，$c_1=44-\sqrt{5}$，$c_2=-4+\sqrt{5}$。