证明调和级数1+1/2+1/3+…+1/n发散
时间: 2023-10-02 12:11:44 浏览: 173
我们可以使用比较判别法来证明调和级数发散。具体来说,我们可以将调和级数与一个更容易处理的级数比较,如果容易处理的级数发散,那么调和级数也一定发散。
考虑级数1+1/2+1/3+…+1/n和级数1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+…+1/2^n。
这两个级数的前n项分别为:
1+1/2+1/3+…+1/n 和 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+…+1/2^n
注意到第二个级数的n项恰好是第一个级数的2n项,因此我们有:
1+1/2+1/3+…+1/n < 1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+…+1/2^n
对于任意正整数k,都有2^k个分母为2^k的项,每个项的值都为1/2^k。因此,第二个级数的前n项可以写成:
1+1/2+1/4+1/8+…+1/2^n > k/2
因此,我们有:
1+1/2+1/3+…+1/n > k/2
由于k可以任意大,这意味着调和级数发散。
相关问题
数列1+1/2+1/3+…+1/n
数列1+1/2+1/3+...+1/n是一个调和级数,其中n为数列的最后一项。这个级数在n趋近于无穷大时会发散,也就是说,它的和会趋近于无穷大。但是,当n比较小的时候,这个级数的和可以通过累加每一项的值来计算。例如,当n=100时,这个级数的和约为5.1873775。
```c
// C语言代码
#include <stdio.h>
int main(){
int n = 100;
double sum = 0.0;
for (int i = 1; i <= n; ++i){
sum += 1.0/i;
}
printf("数列1+1/2+1/3+...+1/n的和为:%f\n", sum);
return 0;
}
```
m(i)=1+1/2+1/3+1/4+……+1/n
这个数学问题涉及到一个无穷级数的求和,称为调和级数。调和级数是指形如1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n的无穷级数。
这个级数被称为调和级数,因为每一项的倒数都是调和数。调和数是指一个数与其倒数的和为1的数,例如1/2、1/3、1/4等。
然而,这个级数是发散的,也就是说它的和是无穷大。也就是说,当n趋向于无穷大时,这个级数的和会趋向于正无穷。
所以,m(i) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n 是一个发散的无穷级数。