若函数f(x,1)在x=1处取到极大值,f(1,y) 在y=1处取到极小值,则点(1,1)不是函数 f(x,y)的极值点
时间: 2023-05-30 14:03:44 浏览: 36
。因为函数在点(1,1)处既不是极大值也不是极小值,而是鞍点。具体地,我们可以考虑函数在点(1,1)处的一阶偏导数:
$f'_x(1,1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h,1)-f(1,1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h,1)-f(1,1)}{h}=0$
$f'_y(1,1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1,1+h)-f(1,1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1,1+h)-f(1,1)}{h}=0$
由于$f''_{xy}(1,1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f'_y(1,1+h)-f'_y(1,1)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f'_y(1,1+h)-f'_y(1,1)}{h}$存在且不为零(否则点(1,1)是极值点),所以点(1,1)是函数的鞍点。
相关问题
若函数f(x,y)在点(1,1)取到极大值,则函数 f(1y)在y=1处也取到极大值。这句话正确吗?
这句话不一定正确。
虽然函数f(x,y)在点(1,1)取到极大值,但是在y=1处,可能存在其他的点使得函数 f(1,y) 取到更大的值,因此函数f(1,y)在y=1处不一定取到极大值。需要进一步分析f(x,y)在y=1处的性质才能得出结论。
若函数f(x,1)在x=1处取得极大值,f(1,y)在y=1处也取得极大值,则函数f(x,y)在(1,1)处取得极大值
这个结论是正确的。
首先,由于f(x,1)在x=1处取得极大值,因此有:
f(x,1) ≤ f(1,1) (对于所有的x)
而f(1,y)在y=1处取得极大值,则有:
f(1,y) ≤ f(1,1) (对于所有的y)
将上面两个不等式结合起来,可以得到:
f(x,1) + f(1,y) ≤ 2f(1,1) (对于所有的x和y)
此时,如果f(x,y)在(1,1)处取得极大值,那么必须满足:
f(x,y) ≤ f(x,1) + f(1,y) ≤ 2f(1,1) (对于所有的x和y)
也就是说,f(x,y)在(1,1)处的取值不会超过2f(1,1),因此f(x,y)在(1,1)处取得极大值是成立的。