求根号下((t-3)/(t+3))
时间: 2023-08-01 12:09:04 浏览: 51
这个积分可以通过有理化分母和代换法来求解。具体步骤如下:
1. 有理化分母,将被积函数变成分式形式。
根号下((t-3)/(t+3)) = 根号下((t-3)*(t+3))/((t+3)*(t+3)) = 根号下(t^2-9)/(t+3)^2
2. 化简根号下的部分,提出t+3的部分。
根号下(t^2-9)/(t+3)^2 = (|t| * 根号下(t^2-9))/(t+3)^2
3. 进行代换,令u = t+3,从而t = u-3,du = dt。
根据上述代换,原积分可以化为:
∫(|t| * 根号下(t^2-9))/(t+3)^2 dt = ∫(|u-3| * 根号下((u-3)^2-9))/u^2 du
4. 使用代换法,将积分变为标准形式。
令v = u-3,从而u = v+3,du = dv,代入上式得到:
∫(|u-3| * 根号下((u-3)^2-9))/u^2 du = ∫(|v| * 根号下(v^2-9))/(v+3)^2 dv
5. 分类讨论,将被积函数拆分为两个部分。
对于v>0和v<0两种情况,分别有:
∫(v * 根号下(v^2-9))/(v+3)^2 dv 当v>0时
= -∫(-v * 根号下(v^2-9))/(v+3)^2 dv 当v<0时
6. 对于v>0的情况,使用代换法,令w = v^2-9,从而v^2 = w+9,dv = 1/2v dw。
代入上式得到:
∫(v * 根号下(v^2-9))/(v+3)^2 dv = ∫(√(w+9) * 根号下w)/((√(w+9)+3)^2) dw
7. 使用代换法,令z = √(w+9)+3,从而w = z^2-9,dw = 2z dz。
代入上式得到:
∫(√(w+9) * 根号下w)/((√(w+9)+3)^2) dw = 2∫(z-3)/z^2 dz
8. 对上式进行积分,得到:
2∫(z-3)/z^2 dz = -2/z + ln|z| + C
9. 将z代入上式,得到:
-2/√(w+9)+3 + ln|√(w+9)+3| + C
10. 对于v<0的情况,可以使用类似的方法求解,最终结果为:
-2/√(w+9)+3 - ln|√(w+9)+3| + C
11. 将两种情况的结果合并起来,得到最终的积分结果:
∫(|t| * 根号下(t^2-9))/(t+3)^2 dt = -2/√(t^2-9)+3 + ln|√(t^2-9)+3| + C
其中C为积分常数。
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