$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 是什么意思

$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 表示对 $\frac{n}{2}$ 向下取整，即不大于 $\frac{n}{2}$ 的最大整数。例如，当 $n=5$ 时，$\lfloor \frac{n}{2} \rfloor = \lfloor \frac{5}{2} \rfloor = 2$，表示需要进行 $2$ 次列交换才能将最后一列换到第一列，倒数第二列换到第二列。

在数学中，符号 $\lfloor x \rfloor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数，而符号 $\lceil x \rceil$ 表示不小于 $x$ 的最小整数。这两个符号都是向下或向上取整的一种常用表达方式。

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对于任意一个正整数 NN (1\le N \le 10^{18}1≤N≤10 18 )，在 序列\lfloor \frac{N}{1} \rfloor,\lfloor \frac{N}{2} \rfloor,\cdots,\lfloor \frac{N}{N} \rfloor⌊ 1 N ​ ⌋,⌊ 2 N ​ ⌋,⋯,⌊ N N ​ ⌋ 中有多少不同的数，这些不同的数中第 KK 大的数是多少。

好的，根据您的要求，我不会透露您的话。对于您的问题，我们可以通过数学方法解决。首先，我们观察到对于任意的 $i\in[1,N]$，$\lfloor \frac{N}{i} \rfloor$ 的取值范围为 $[\lfloor \frac{N}{N} \rfloor,\lfloor \frac{N}{1} \rfloor]$，所以不同的数的个数不会超过 $\lfloor \sqrt{N} \rfloor$。因此，我们可以枚举每个可能的数值，统计其在序列中出现的次数，然后根据出现次数从大到小排序，最后取第 $K$ 大的数。具体实现可以使用桶排序或快速排序等算法，时间复杂度为 $O(\sqrt{N}\log\sqrt{N})$。

liky21 被卷入到一个奇怪的时空，这个时空过于怪异，因为这里的距离不是线性的！由于处于不同维度，liky21 所在的时空对于距离的定义与我们所在的世界不太一样。简单来说，对于每一个坐标 $X$，它到奇点的距离被定义为$$dis_X = dis \lfloor \frac{X}{2} \rfloor + dis \lfloor \frac{X}{3} \rfloor$$这里的符号"$\lfloor K \rfloor$"指的是对里面的实数 $K$ 向下取整。 例如，$ \lfloor 3.1415926 \rfloor = 3$。特别的，$dis_0 = 1$。那么，我们可以知道坐标X与坐标Y之间的距离为 $| dis_X - dis_Y |$ 。liky21 很想知道它现在所处的坐标与另外一个坐标的距离是多少，但是他又不擅长计算，所以请你帮一帮他。 输入 两个整数 $X, Y$，分别代表 liky21 的所在坐标与他想求距离的坐标 输出 一个整数，代表 $X$ 与 $Y$ 之间的距离

这道题目可以使用递归的思路来求解。对于两个坐标 $X$ 和 $Y$，我们可以用递归的方式计算它们到奇点的距离 $dis_X$ 和 $dis_Y$，然后再计算它们之间的距离。具体来说，我们可以写一个递归函数 $dis(x)$，表示 $x$ 到奇点的距离。那么，我们可以将 $X$ 和 $Y$ 分别代入 $dis(x)$ 中计算它们到奇点的距离 $dis_X$ 和 $dis_Y$，然后计算它们之间的距离 $|dis_X - dis_Y|$。

下面是使用 C++ 的代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

int dis(int x) {
    if (x == 0) { // 奇点
        return 1;
    }
    return dis(x / 2) + dis(x / 3);
}

int main() {
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    int dis_x = dis(x);
    int dis_y = dis(y);
    cout << abs(dis_x - dis_y) << endl;
    return 0;
}

时间复杂度为 $O(\log X + \log Y)$，空间复杂度为 $O(\log X + \log Y)$。