使用用牛顿迭代法求方程𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 3 = 0的根，选𝑥0 = 1.5附近的一个实 根。

牛顿迭代法（Newton-Raphson method）是一种用于寻找函数零点的强大数值方法。对于函数 \( f(x) = x^2 - 3 \)，我们需要找到使得 \( f(x) = 0 \) 的 \( x \) 值。初始猜测 \( x_0 = 1.5 \) 是一个接近真实根的地方。

下面是使用牛顿迭代法的基本步骤：

1. 首先，计算函数 \( f(x) \) 对 \( x \) 的导数 \( f'(x) \)，即 \( f'(x) = 2x \)。
2. 然后，利用公式 \( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) 进行迭代，\( n \) 表示迭代次数。
3. 将 \( x_0 = 1.5 \) 代入上述公式，然后不断迭代，直到 \( |f(x)| \) 小于某个预设的误差阈值。

让我们编写一个简单的 Julia 程序来执行牛顿迭代法：

# 定义函数 f(x) 和其导数 f'(x)
function func(x)
    return x^2 - 3
end
function df(x)
    return 2 * x
end

# 初始猜测和设置误差阈值
x0 = 1.5
tol = 1e-6

# 牛顿迭代法
function newton_raphson(f, df, x0, tol)
    xn = x0
    while abs(f(xn)) > tol
        xn_new = xn - f(xn) / df(xn)
        xn = xn_new
    end
    return xn
end

# 计算方程的根
root = newton_raphson(func, df, x0, tol)
println("The root of the equation using Newton's method is approximately: $root")

在这个程序里，我们首先定义了 `func` 和 `df` 函数分别代表原函数和它的导数。然后，`newton_raphson` 函数实现了牛顿迭代过程，并返回收敛后的近似根。