1．考虑积分I=∫_(-1)^1▒e^sinx dx (1) 用平均值法、重要抽样法、分层抽样法、控制变量法、对立变量法估计积 分I 的值，给出各种方法的算法流程。

1. 平均值法：

算法流程：

(1) 计算被积函数 $f(x) = e^{sin(x)}$ 在区间 [-1, 1] 上的平均值 $M$，即 $M = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} f(x) dx$。

(2) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx 2M$。

具体地，我们可以使用复合求和公式计算平均值 $M$，例如

$$M = \frac{1}{2n}\sum\limits_{i=0}^{n-1} f\left(-1 + \frac{i+0.5}{n}\right)$$

其中 $n$ 是取样点数。

2. 重要抽样法：

算法流程：

(1) 设 $g(x)$ 是一个已知的概率密度函数，且在区间 [-1, 1] 上非零。

(2) 生成 $n$ 个服从 $g(x)$ 分布的随机数 $X_1, X_2, \cdots, X_n$。

(3) 计算被积函数 $f(x) = e^{sin(x)}$ 在取样点 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 上的平均值 $M_n$，即

$$M_n = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} f(X_i)$$

(4) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx \frac{2}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f(X_i)}{g(X_i)}$。

具体地，我们可以选择正态分布、均匀分布、指数分布等作为 $g(x)$，并使用 Box-Muller 算法进行转换。

3. 分层抽样法：

算法流程：

(1) 将区间 [-1, 1] 划分为 $m$ 个子区间，每个子区间的长度为 $h = \frac{2}{m}$。

(2) 对每个子区间 $[x_{i-1}, x_i]$，生成 $n_i$ 个随机数 $X_{i,1}, X_{i,2}, \cdots, X_{i,n_i}$，其中 $x_{i-1} \le X_{i,j} \le x_i$。

(3) 计算被积函数 $f(x) = e^{sin(x)}$ 在每个子区间的取样点上的平均值 $M_i$，即

$$M_i = \frac{1}{n_i}\sum\limits_{j=1}^{n_i} f(X_{i,j})$$

(4) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx \frac{2}{m}\sum\limits_{i=1}^{m} M_i$。

4. 控制变量法：

算法流程：

(1) 假设存在一个函数 $g(x)$，满足 $g(x) \approx f(x)$，且 $g(x)$ 可以被积分。

(2) 选取一个随机变量 $Z$，使得 $Z$ 的期望 $\mu_Z$ 和方差 $\sigma_Z^2$ 已知。

(3) 生成 $n$ 个服从 $Z$ 分布的随机数 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$。

(4) 计算 $g(x)$ 在取样点 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 上的平均值 $M_n$ 和 $Z$ 在取样点 $Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 上的平均值 $N_n$。

(5) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{f(X_i) - g(X_i)}{P(Z_i \le X_i)} + \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} g(X_i) + \frac{\mu_Z}{n} \left(2M_n - \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} g(X_i)\right)$，其中 $P(Z_i \le X_i)$ 是 $Z_i$ 小于等于 $X_i$ 的概率。

5. 对立变量法：

算法流程：

(1) 将积分区间 [-1, 1] 分成两个子区间 $[-1, 0]$ 和 $[0, 1]$。

(2) 对每个子区间，选取一个函数作为对立变量 $g(x)$，满足 $g(x) \approx f(x)$，且 $g(x)$ 可以被积分。

(3) 对每个子区间，生成 $n$ 个服从 $g(x)$ 分布的随机数 $X_{1,i}, X_{2,i}, \cdots, X_{n,i}$，其中 $i=1,2$。

(4) 计算 $f(x)$ 在取样点 $X_{1,i}, X_{2,i}, \cdots, X_{n,i}$ 上的平均值 $M_{i,n}$ 和 $g(x)$ 在取样点 $X_{1,i}, X_{2,i}, \cdots, X_{n,i}$ 上的平均值 $N_{i,n}$。

(5) 计算积分 $I$ 的近似值，即 $I \approx N_{1,n} + N_{2,n} - M_{1,n} - M_{2,n}$。