取插值节点 ,分别用1次、2次、3次、4次Newton插值算法逼近函数f(x)=3^x ,由此计算f(0.5), 并比较对应的误差值。要求给出具体过程以及matlab代码解决方法
时间: 2024-04-03 07:34:15 浏览: 39
首先,我们需要确定插值节点。我们选择以0为起点,以1、2、3、4为插值节点。即$x_0=0,x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$。
其次,我们需要求出插值多项式的系数。
1. 1次Newton插值算法
根据1次Newton插值公式:
$$
P_1(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)
$$
其中,$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$,代入$f(x)=3^x$得:
$$
P_1(x)=1+2(x-0)
$$
因此,$P_1(x)$为:
$$
P_1(x)=2x+1
$$
当$x=0.5$时,$P_1(x)$的值为$P_1(0.5)=2\times0.5+1=2$,误差为$|f(0.5)-P_1(0.5)|=|1.5|$。
2. 2次Newton插值算法
根据2次Newton插值公式:
$$
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)
$$
其中,$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$,$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$,代入$f(x)=3^x$得:
$$
P_2(x)=1+2(x-0)+\frac{3^2-2\times 3^1+1}{2}(x-0)(x-1)
$$
化简得:
$$
P_2(x)=2x^2-3x+1
$$
当$x=0.5$时,$P_2(x)$的值为$P_2(0.5)=2\times 0.5^2-3\times 0.5+1=1.75$,误差为$|f(0.5)-P_2(0.5)|=|1.25|$。
3. 3次Newton插值算法
根据3次Newton插值公式:
$$
\begin{aligned}
P_3(x)&=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\
&+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)
\end{aligned}
$$
其中,$f[x_0,x_1]=\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}$,$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_0}$,$f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}$,代入$f(x)=3^x$得:
$$
P_3(x)=1+2(x-0)+\frac{3^2-2\times 3^1+1}{2}(x-0)(x-1)+\frac{3^3-3\times 3^2+3\times 3^1-1}{6}(x-0)(x-1)(x-2)
$$
化简得:
$$
P_3(x)=\frac{3}{2}x^3-\frac{9}{2}x^2+\frac{11}{2}x+1
$$
当$x=0.5$时,$P_3(x)$的值为$P_3(0.5)=\frac{3}{2}\times 0.5^3-\frac{9}{2}\times 0.5^2+\frac{11}{2}\times 0.5+1=1.625$,误差为$|f(0.5)-P_3(0.5)|=|1.375|$。
4. 4次Newton插值算法
根据4次Newton插值公式:
$$
\begin{aligned}
P_4(x)&=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)\\
&+f[x_0,x_1,x_2,x_3](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)\\
&+f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4](x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)
\end{aligned}
$$
其中,$f[x_0,x_1,x_2,x_3]=\frac{f[x_1,x_2,x_3]-f[x_0,x_1,x_2]}{x_3-x_0}$,$f[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4]=\frac{f[x_1,x_2,x_3,x_4]-f[x_0,x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_0}$,代入$f(x)=3^x$得:
$$
P_4(x)=1+2(x-0)+\frac{3^2-2\times 3^1+1}{2}(x-0)(x-1)+\frac{3^3-3\times 3^2+3\times 3^1-1}{6}(x-0)(x-1)(x-2)+\frac{3^4-4\times 3^3+6\times 3^2-4\times 3^1+1}{24}(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)
$$
化简得:
$$
P_4(x)=\frac{9}{8}x^4-\frac{33}{8}x^3+\frac{77}{16}x^2-\frac{25}{8}x+1
$$
当$x=0.5$时,$P_4(x)$的值为$P_4(0.5)=\frac{9}{8}\times 0.5^4-\frac{33}{8}\times 0.5^3+\frac{77}{16}\times 0.5^2-\frac{25}{8}\times 0.5+1=1.5625$,误差为$|f(0.5)-P_4(0.5)|=|1.4375|$。
因此,可以发现,随着插值多项式次数的增加,误差逐渐减小。
MATLAB代码如下: