求一个稳定的系统,且与原系统:H(s)=4s/(s+2)(s-4)有相同的幅频响应,写出对应的系统函数,并说明解题思路
时间: 2024-04-01 15:31:51 浏览: 15
要求一个稳定的系统,并且与原系统的幅频响应相同,需要将原系统的极点移动到左半平面,以保证系统稳定。
将原系统的分母因式分解得到:
H(s) = 4s/[(s+2)(s-4)]
可以看到,原系统有两个极点,分别是-2和4。其中,-2位于左半平面,4位于右半平面,因此需要将4移动到左半平面。
我们可以将4的位置移动到左半平面,使其成为-4,从而得到一个新的系统函数:
H(s) = 4s/[(s+2)(s+4)]
这个新的系统函数与原系统具有相同的幅频响应,同时也是一个稳定系统,因为它的所有极点都位于左半平面。
解题思路就是将原系统的极点移动到左半平面,以得到一个稳定的系统,并且保持幅频响应不变。
相关问题
求一个稳定的系统,且与原系统:H(s)=4s/(s-4)(s+2)有相同的幅频响应,写出对应的系统函数,并说明解题思路
要求一个系统与原系统具有相同的幅频响应,可以考虑对原系统的幅频响应进行分析,找出其特征并利用这些特征构造出一个新系统。
首先,原系统的极点为 $s = -2$ 和 $s = 4$,因此其幅频响应包含两个一阶衰减项:$\frac{1}{s+2}$ 和 $\frac{1}{s-4}$。可以利用这两个一阶衰减项构造出一个新系统,使其具有相同的幅频响应。
设新系统的系统函数为 $G(s)$,则可以将其表示为:
$$
G(s) = k\cdot\frac{1}{s+2}\cdot\frac{1}{s-4}
$$
其中,$k$ 为待定系数。
将原系统的系统函数 $H(s)$ 代入上式,可以得到:
$$
G(s) = k\cdot\frac{4s}{\left(s+2\right)\left(s-4\right)}
$$
由于要求新系统与原系统具有相同的幅频响应,因此需要满足 $|G(j\omega)| = |H(j\omega)|$,即:
$$
\left|k\cdot\frac{4j\omega}{\left(j\omega+2\right)\left(j\omega-4\right)}\right| = \left|\frac{4j\omega}{\left(j\omega+2\right)\left(j\omega-4\right)}\right|
$$
化简得到 $k=1$,因此新系统的系统函数为:
$$
G(s) = \frac{4s}{\left(s+2\right)\left(s-4\right)}
$$
最终,我们得到了一个与原系统具有相同幅频响应的新系统,其系统函数为 $\frac{4s}{\left(s+2\right)\left(s-4\right)}$。
所以H(s)=4s/(s+2)(s+4)和H(s)=4s/(s+2)(s-4)具有相同的幅频响应?
不是的,$H(s)=\frac{4s}{(s+2)(s+4)}$ 和 $H(s)=\frac{4s}{(s+2)(s-4)}$ 的幅频响应不同,因为它们的极点不同。
$H(s)=\frac{4s}{(s+2)(s+4)}$ 的极点为 $s=-2$ 和 $s=-4$,对应的幅频响应包含了两个一阶高通滤波器和两个一阶低通滤波器,因此在 $\omega=0$ 处有一个零点,在 $\omega=2$ 处有一个极大值,而在 $\omega=4$ 处有一个极小值。具体的幅频响应为:
$$
|H(j\omega)| = \frac{4|\omega|}{\sqrt{(\omega^2+2^2)(\omega^2+4^2)}}
$$
$H(s)=\frac{4s}{(s+2)(s-4)}$ 的极点为 $s=-2$ 和 $s=4$,对应的幅频响应包含了一个一阶高通滤波器和一个一阶低通滤波器,因此在 $\omega=0$ 处有一个零点,在 $\omega=2$ 处有一个极小值,而在 $\omega=4$ 处有一个极大值。具体的幅频响应为:
$$
|H(j\omega)| = \frac{4|\omega|}{\sqrt{(\omega^2+2^2)(\omega^2-4^2)}}
$$
因此,虽然这两个系统都是稳定的,但它们的幅频响应不同。
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