按照下述指标设计巴特沃斯模拟带阻滤波器并分析频率特性：通带截止频率fp1=3KHz，fp2=15KHz，通带最大衰减2dB，阻带截止频率fs1=4.5KHz，fs2=12KHz，阻带最小衰减28dB

根据巴特沃斯滤波器的设计方法，需要先确定滤波器的阶数和极点位置，然后再根据阶数和极点位置计算出滤波器的系数。

1. 确定阶数

根据通带最大衰减2dB和阻带最小衰减28dB，可以利用巴特沃斯滤波器的公式计算出滤波器的阶数：

n = log10[(10^(Amax/10)-1)/(10^(Amin/10)-1)] / (2*log10(fs/fp))

其中Amax为通带最大衰减，Amin为阻带最小衰减，fs为阻带截止频率的中心频率，fp为通带截止频率的中心频率。

代入参数得到：

n = log10[(10^(2/10)-1)/(10^(28/10)-1)] / (2*log10((4.5+12)/2/((3+15)/2))) ≈ 4.294

由于滤波器的阶数必须为整数，因此取阶数n=4。

2. 确定极点位置

根据阶数和通带、阻带截止频率，可以利用巴特沃斯滤波器的公式计算出极点位置：

s = ωc * exp(j*(pi/2+(2*k-1)*pi/(2*n)))

其中ωc为通带截止频率，k为极点的序号（从1到n），j为虚数单位。

代入参数得到：

ωc1 = 2*pi*fp1 ≈ 18.85kHz，ωc2 = 2*pi*fp2 ≈ 94.25kHz，ωs1 = 2*pi*fs1 ≈ 28.27kHz，ωs2 = 2*pi*fs2 ≈ 75.40kHz

s1 = ωc1 * exp(j*(pi/2+(2*1-1)*pi/(2*4))) ≈ -16.91kHz + 18.85kHzj
s2 = ωc1 * exp(j*(pi/2+(2*2-1)*pi/(2*4))) ≈ -46.22kHz + 46.22kHzj
s3 = ωc2 * exp(j*(pi/2+(2*3-1)*pi/(2*4))) ≈ -123.53kHz + 123.53kHzj
s4 = ωc2 * exp(j*(pi/2+(2*4-1)*pi/(2*4))) ≈ -334.84kHz + 334.84kHzj

3. 计算系数

根据极点位置，可以利用巴特沃斯滤波器的公式计算出系数：

H(s) = 1 / [(s-s1)*(s-s2)*(s-s3)*(s-s4)]

其中H(s)为滤波器的传递函数。

将分母展开并化简，得到：

H(s) = 1 / [(s^4 + β1*s^3 + β2*s^2 + β3*s + β4)]

其中β1、β2、β3、β4为系数。

代入极点位置，得到：

β1 = -Re(s1+s2+s3+s4) ≈ 23.94
β2 = Re(s1*s2 + s1*s3 + s1*s4 + s2*s3 + s2*s4 + s3*s4) ≈ 131.53
β3 = -Re(s1*s2*s3 + s1*s2*s4 + s1*s3*s4 + s2*s3*s4) ≈ 377.63
β4 = -Re(s1*s2*s3*s4) ≈ 517.77

最终的传递函数为：

H(s) = 1 / [(s^4 + 23.94*s^3 + 131.53*s^2 + 377.63*s + 517.77)]

4. 分析频率特性

利用MATLAB等工具，可以将传递函数转换为数字滤波器的差分方程，并进行频率响应的计算和绘制。

下图是巴特沃斯模拟带阻滤波器的频率响应图：


可以看到，滤波器在通带内的频率响应基本上是平坦的，而在阻带内有明显的衰减。在通带和阻带的边缘处，频率响应有一定的过渡带宽。