(\frac{\partial u}{\partial t},v)+(\nabla u,\nabla v)=(f,v) 这个公式是什么意思
时间: 2023-11-26 11:03:44 浏览: 64
这个公式是一个偏微分方程的形式,其中 $u$ 是一个未知的函数,$t$ 是时间,$v$ 是一个测试函数。$\nabla$ 是梯度算子,$f$ 是已知的函数。
这个方程描述了 $u$ 随时间变化的规律,它的变化受到 $f$ 的影响。公式左边是 $u$ 和 $v$ 的一阶导数之间的内积,右边是 $f$ 和 $v$ 的内积。这个方程可以用来模拟很多物理和工程问题,比如热传导、电场分布等等。
相关问题
将微分方程\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T写成一般形式
一般形式的微分方程为:
$$\frac{\partial u}{\partial t} = D \nabla^2 u + f(u,\nabla u, t)$$
其中 $u$ 是待求函数,$D$ 是扩散系数,$f(u,\nabla u, t)$ 是源或汇的项。将给定的微分方程 $\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T$ 转化为一般形式,可以得到:
$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$$
因此,$D = \alpha$,$f(u,\nabla u, t) = 0$,待求函数 $u$ 为温度 $T$。
$$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0 $$
这是质量守恒方程的连续性方程形式,描述了一个流体在运动过程中质量的守恒性质。其中,$\rho$是流体的密度,$t$是时间,$\mathbf{u}$是流体的速度矢量,$\nabla\cdot$表示散度运算符,描述了流体在空间中的变化。这个方程表达的意思是,质量是不会被创造或者消失的,只会在空间中传输和变化。
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