设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度函数为     − + + ≤ = 0, ( ), ( , ) 2 2 2 2 2 C R x y x y R f x y 其他 （1）求常数 C；（2）当𝑅 = 2时，求𝑃(𝑋2 + 𝑌2 ≤ 1)

（1）要求常数C，需要满足联合概率密度函数的总和为1，即：

∫∫ f(x, y) dx dy = 1

因此，我们需要求出下面的积分：

∫∫0≤𝑟≤2 2π𝑟 dr dθ = 4π

于是，常数C的值为：

C = 1 / (4π)

（2）当R=2时，求P(X2 + Y2 ≤ 1)，可以使用极坐标转换得到：

P(X2 + Y2 ≤ 1) = ∫∫1≤𝑟≤2 2π𝑟 dr dθ = 4π - π = 3π

因此，当R=2时，X和Y满足X2 + Y2 ≤ 1的概率为3π/4π = 3/4.

相关问题

. 以下函数中，能够作为二维随机变量的密度函数的是（ ） (A) f(x, y) =    1, 0 < x < π, 0 < y < sin x 0, other. (B) f(x, y) =    e −(x+y) , x > 0, y > 0 0, other. (C) f(x, y) =    x, x 2 + y 2 < 1 0, other. (D) f(x, y) =    1 2 , −1 < x, y < 1 0, other

选项 (B) f(x, y) = e^-(x+y), x > 0, y > 0 是一个二维随机变量的密度函数。

首先，它对于所有的 (x, y) 都是非负的，因为指数函数的值始终为正数。其次，对于所有的 x 和 y，有：

∫∫f(x, y) dxdy = ∫0^∞ ∫0^∞ e^-(x+y) dxdy

通过对 x 和 y 分别进行积分，可以得到：

∫0^∞ e^-x dx ∫0^∞ e^-y dy = 1

因此，它是一个合法的概率密度函数。

对于选项 (A) f(x, y) = 1, 0 < x < π, 0 < y < sin x，它对于所有的 (x, y) 都是正的，但是它在定义域上的积分不等于 1，因此不是一个合法的概率密度函数。

对于选项 (C) f(x, y) = x, x^2 + y^2 < 1，它在圆心处的值为 0，而圆心是一个点，因此不是一个合法的概率密度函数。

对于选项 (D) f(x, y) = 1/2, -1 < x, y < 1，它对于所有的 (x, y) 都是正的，而且在定义域上的积分等于 1，因此它也是一个合法的概率密度函数。

二维随机变量 (x,Y)~N0,0,1,1,0.5),令Z = 3X + 5Y,则随机变量的概率密度函数fz(z)=

首先，根据题意可知，$(X,Y)$服从均值为$(0,0)$，方差分别为$(1,1)$，协方差为$0.5$的二元正态分布，即$(X,Y) \sim N(0,0;1,1;0.5)$。那么，我们可以先求出$Z$的均值和方差：

$E(Z) = E(3X + 5Y) = 3E(X) + 5E(Y) = 0$

$Var(Z) = Var(3X + 5Y) = 9Var(X) + 25Var(Y) + 30Cov(X,Y) = 9 + 25 + 30\times0.5 = 34$

因此，$Z$也是一个正态分布，其概率密度函数为：

$f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\times34}} \exp\left(-\frac{(z-0)^2}{2\times34}\right)$

化简后可得：

$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$

因此，随机变量$Z$的概率密度函数为$f_Z(z) = \frac{1}{17\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{z^2}{68}\right)$。