softmax的反向传播

softmax是常用于分类问题的一种激活函数，它的反向传播可以使用交叉熵误差和梯度下降算法来实现。具体来说，softmax的反向传播过程可以分为以下几步：

1. 计算softmax的输出值；
2. 计算损失函数（一般使用交叉熵误差）对softmax输出值的偏导数；
3. 计算损失函数对softmax输入值的偏导数（即梯度）；
4. 将梯度传递给前一层神经元，继续进行反向传播。

下面是每个步骤的详细说明：

1. 计算softmax的输出值：假设有n个类别，输入向量为x，输出向量为y，则softmax函数可以表示为：

y_i = e^(x_i) / (sum(e^(x_j)), j=1,2,...,n)

其中，i表示当前类别，j表示所有类别。需要注意的是，softmax的输出值是一个概率分布，所有输出值的和为1。

2. 计算损失函数对softmax输出值的偏导数：假设样本的真实标签为t，则损失函数可以表示为交叉熵误差：

L = -sum(t_i * log(y_i))

则损失函数对softmax输出值y的偏导数可以表示为：

dL/dy_i = y_i - t_i

3. 计算损失函数对softmax输入值的偏导数（即梯度）：根据链式法则，可以得到：

dL/dx_i = sum(dL/dy_j * dy_j/dx_i), j=1,2,...,n

根据softmax函数的定义，可以得到：

dy_j/dx_i = y_i * (delta_ij - y_j)

其中，delta_ij是Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0。

将上式带入前面的公式中，可以得到：

dL/dx_i = y_i * (1 - t_i) + sum(y_j * t_j), j!=i

4. 将梯度传递给前一层神经元，继续进行反向传播：将dL/dx_i传递给前一层神经元，计算其对前一层输入值的偏导数，并依次进行反向传播。这一过程中需要注意，如果前一层神经元也使用了softmax激活函数，则需要将其输入值与当前层输出值合并，重新计算softmax函数。这个过程称为“softmax with loss”层。