yalmip中获得对偶变量举例

假设我们有以下线性规划问题：

\begin{alignat}{2}
\min_{x} \quad & c^Tx &\qquad& \\
\text{s.t.} \quad & Ax &\geq b && \\
& x &\geq 0 &&
\end{alignat}

其中，$c\in\mathbb{R}^n$，$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$，$b\in\mathbb{R}^m$，$x\in\mathbb{R}^n$。

我们可以使用YALMIP来求解这个线性规划问题，并获得对偶变量。YALMIP提供了`dual`函数，可以获得对偶问题的解。对于上面的线性规划问题，其对偶问题可以表示为：

\begin{alignat}{2}
\max_{y} \quad & b^Ty &\qquad& \\
\text{s.t.} \quad & A^Ty &\leq c && \\
& y &\geq 0 &&
\end{alignat}

我们可以按照以下步骤使用YALMIP来求解原始问题和对偶问题，并获得对偶变量：

% 定义变量和约束
x = sdpvar(n,1);
y = sdpvar(m,1);
Constraints = [A*x >= b, x >= 0];
Objective = c'*x;

% 求解原始问题
optimize(Constraints,Objective);

% 获得原始问题的最优解和对偶变量
x_opt = value(x);
dual_constraint = dual(Constraints);
dual_objective = dual(Objective);

% 构造对偶问题的约束和目标函数
Constraints_dual = [A'*y <= c, y >= 0];
Objective_dual = b'*y;

% 求解对偶问题
optimize(Constraints_dual,Objective_dual);

% 获得对偶问题的最优解和对偶变量
y_opt = value(y);
dual_constraint_dual = dual(Constraints_dual);
dual_objective_dual = dual(Objective_dual);

其中，`dual`函数返回的是一个结构体类型的变量，包含了每个约束和目标函数的对偶变量。例如，`dual_constraint(i)`表示原始问题中第$i$个约束的对偶变量，`dual_objective`表示原始问题的目标函数的对偶变量。同理，`dual_constraint_dual(i)`表示对偶问题中第$i$个约束的对偶变量，`dual_objective_dual`表示对偶问题的目标函数的对偶变量。