例题4-1 用格里高利公式求给定精度的pi值

格里高利公式是一种计算圆周率的公式，可以用来求给定精度的pi值。具体步骤如下：

1. 设定精度要求，例如要求计算出pi值的小数点后10位。

2. 根据格里高利公式，计算出pi值的近似值。公式如下：

pi ≈ 4 × (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...)

其中，每一项的分母为奇数，分子为1或-1，符号交替出现。

3. 计算出pi值的误差。误差可以通过比较近似值和真实值的差来计算。

4. 如果误差小于设定的精度要求，则输出近似值作为pi值；否则，继续计算下一项，直到误差满足精度要求为止。

需要注意的是，格里高利公式是一种无限级数，因此计算时需要考虑到精度和计算效率的平衡。

相关问题

7-1 用格里高利公式求给定精度的PI值

格里高利公式是一种数值计算方法，可以用来计算圆周率π的近似值。该公式的表达式为：

π = 4 × arctan(1) = 4 × (1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ...)

其中，arctan(x)表示反正切函数，其定义域为[-π/2, π/2]，值域为[-π/2, π/2]。

要求给定精度的π值，可以通过不断累加格里高利公式中的每一项来逐步逼近π。具体来说，可以设置一个误差限，当当前计算出的π值与上一次计算出的π值之差小于误差限时，就可以结束计算。

以下是一个用C++实现的求解π的代码示例，其中精度设置为0.000001：

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

int main()
{
    double pi = 0.0;
    double eps = 0.000001; // 精度设置为0.000001
    double delta = 0.0;
    int n = 0;

    do {
        delta = 4.0 * pow(-1.0, n) / (2 * n + 1); // 格里高利公式中的每一项
        pi += delta; // 累加每一项
        n++;
    } while (fabs(delta) >= eps); // 当项数小于误差限时结束计算

    cout << "PI = " << pi << endl;

    return 0;
}

如何使用格里高利公式求给定精度的PI值

格里高利公式，也称为莱布尼茨公式，是一种用于计算圆周率π的无限级数，其表达式是这样的：

\[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots \]

这个级数的特点是正负交替，并且每一项的分母是奇数，分子永远为1。为了使用此公式得到特定精度的π值，你需要执行以下步骤：

1. **初始化**：设置π的初始估计值为 \( \frac{\pi}{4} \) 和误差限，通常选择一个小于所需精度的值。

2. **迭代**：从第2项开始，依次计算每一项的绝对值并加到当前π的估计值上，然后改变符号。例如，第一次加的是 \(-\frac{1}{3}\)，第二次加的是 \(\frac{1}{5}\)，以此类推。

3. **判断收敛**：当连续几轮加减后的变化小于预设的误差限时，认为级数已经足够精确，停止计算。可以设定一个阈值，比如0.00001，作为判断是否达到所需精度的标准。

4. **结果调整**：由于我们只取了 \(\frac{\pi}{4}\)，所以最后的结果需要乘以4来获得π的近似值。

下面是一个简单的Python示例，演示如何使用格里高利公式计算π的近似值：

def compute_pi(n_terms, error_threshold):
    pi_4 = 1
    numerator = 1
    denominator = 1
    term = numerator / denominator

    for _ in range(1, n_terms):
        pi_4 += (-1)**(_+1) * term
        denominator += 2
        term = numerator / denominator

    return 4 * pi_4 if abs(pi_4 - last_computed_value) < error_threshold else None

# 示例：计算1000项的π值
last_computed_value = None
accuracy = 1e-6
approximate_pi = compute_pi(1000, accuracy)