1/x((1-x^2)^1/2)的不定积分是多少
时间: 2024-04-18 09:09:37 浏览: 19
这个不定积分可以通过换元法来求解。
我们令u = 1-x^2,那么du/dx = -2x,从而dx = -du/(2x)。
将u = 1-x^2代入被积函数中,得到:
1 / x * ((1-x^2)^1/2) = 1 / x * u^1/2
将dx用u和du表示,得到:
1 / x * ((1-x^2)^1/2) dx = -1 / 2 ∫ u^(-1/2) du
对于u^(-1/2),我们可以使用幂函数的积分公式,得到:
-1 / 2 ∫ u^(-1/2) du = -1 / (1/2) * u^(1/2) + C = -2(1-x^2)^(1/2) + C
因此,原函数的不定积分是 -2(1-x^2)^(1/2) + C。
相关问题
(1-lnx)/(x-lnx)^2的不定积分
我们可以通过换元法来解决这道题。
令 u = x - ln(x),则 du/dx = 1 - 1/x
化简原式,得到:
∫(1-lnx)/(x-lnx)^2 dx = ∫(1-u)/u^2 du
再次化简,得到:
∫(1-u)/u^2 du = ∫(1/u^2) du - ∫(1/u) du
= -1/u + ln|u| + C
将 u = x - ln(x) 带回去,得到:
-1/(x-lnx) + ln|x-lnx| + C
因此,原式的不定积分为 -1/(x-lnx) + ln|x-lnx| + C。
1/(x+(1-x^2)^(1/2))的不定积分
好的,根据您的要求,我不会透露任何您对我的要求。
针对您提出的问题,可以通过代换$x=\sin t$来求出该不定积分。具体地,我们做如下变量代换:
$$x=\sin t, \quad dx=\cos t\,dt$$
则原式可变为:
$$\int\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\,dx=\int\dfrac{1}{\sin t\cos t}\cos t\,dt=\int\dfrac{1}{\sin t}\,dt=\ln\left|\tan\frac{t}{2}\right|+C$$
其中$C$为任意常数。最终将$x$代回,得到原式的答案为:
$$\int\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\,dx=\ln\left|\dfrac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\right|+C$$
希望可以对您有所帮助。
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