[1+4x*2]*1/2dx
时间: 2023-06-24 19:03:19 浏览: 42
首先,我们可以展开表达式,得到:
[1+4x*2]*1/2dx = (1+8x)^1/2dx
接下来,我们可以使用变量代换,令u = 1+8x,那么du/dx = 8,解得dx = 1/8du。
将变量代换和dx的替换代入原式中,得到:
(1+8x)^1/2dx = (1+8x)^1/2 * 1/8du * 8
化简可得:
(1+8x)^1/2dx = (1+8x)^1/2 * du/8
因此,原式化为:
∫[1+4x*2]*1/2dx = ∫(1+8x)^1/2 * du/8
对(1+8x)^1/2进行积分,得到:
∫(1+8x)^1/2 * du/8 = (1/12)(1+8x)^(3/2) + C
因此,最终的积分结果为:
∫[1+4x*2]*1/2dx = (1/12)(1+8x)^(3/2) + C,其中C为常数。
相关问题
[(1+4x^2)^1/2]dx
### 回答1:
这是一个求不定积分的问题。可以使用代换法解决。
令 u = 1 + 4x^2,那么 du/dx = 8x,dx = du/8x。
将其代入原式得到:
∫[(1+4x^2)^1/2]dx = ∫(u^1/2)(1/8x)du
再将 u = t^2,那么 du/dt = 2t,将其代入得到:
∫(u^1/2)(1/8x)du = (1/8)∫t^2(1/t)2t dt
化简得到:
(1/8)∫t^3 dt = (1/32)t^4
将 t = (1+4x^2)^1/2 代入得到最终答案:
(1/32)(1+4x^2)^2 + C
其中 C 为常数。
### 回答2:
首先,我们可以使用数学公式来简化表达式:
(1 + 4x^2)^1/2 = √(1 + 4x^2)
现在,我们可以开始求解:
我们可以使用换元法来求解该积分。令 u = 1 + 4x^2,那么我们有 du = 8x dx,从而 dx = du / (8x)。
将这个换元代入到原始积分中,我们得到:
∫[(1 + 4x^2)^1/2]dx = ∫√(1 + 4x^2) dx
= ∫√u (du / (8x))
接下来,我们需要将被积函数转化为关于 u 的函数,可以得到:
√u = √(1 + 4x^2) = √(1 + (2x)^2) = √(1 + (2x)^2)/(2x) * 2x
继续代入,我们得到:
∫√u (du / (8x)) = 1/4 * ∫ √(1 + (2x)^2)/(2x) * 2x du
化简后得到:
1/4 * ∫ √u du
现在我们可以直接求解这个积分了。利用幂函数积分公式,我们得到:
1/4 * ∫ √u du = 1/4 * (2/3) * u^3/2 + C = 1/6 * u^3/2 + C
最后,将 u 代回到原来的变量 x 中,我们得到最终的解答:
∫[(1 + 4x^2)^1/2]dx = 1/6 * (1 + 4x^2)^3/2 + C
其中,C 为常数项。
### 回答3:
题目给出的表达式为[(1 4x^2)^1/2]dx。解读该表达式,可以拆解为两部分进行理解:(1)根号下的部分[(1 4x^2)^1/2],(2)后面的dx。
首先,我们来看根号下的部分[(1 4x^2)^1/2],这是一个复合函数。首先,内层的函数是4x^2,接着外层的函数是取平方根。这两个函数嵌套在一起,就成为一个复合函数。4x^2代表的是一个二次函数,而取平方根的函数则表示要求另外一个函数的平方根。所以整个根号部分表示求一个函数的平方根。这个函数是4x^2,也就是4与x之间的乘法关系,并且经过一次平方再开方的运算。
接下来,我们来看后面的dx。dx是微积分中的微分符号,表示对变量x进行微分。微分是微积分的基本操作之一,表示对函数进行微小的变化量的研究。
所以,综上所述,题目中的表达式[(1 4x^2)^1/2]dx表示要对一个函数进行平方根运算再求微分的运算。
X倍根号下1+4X^2的原函数
这道题可以使用三角代换来解决。
我们令 $x = \frac{\tan t}{2}$,则有:
$$\begin{aligned} \sqrt{1+4x^2} &= \sqrt{1+4\left(\frac{\tan t}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \sqrt{\frac{\cos^2 t + \sin^2 t}{\cos^2 t}} \\ &= \frac{1}{\cos t} \end{aligned}$$
同时,我们有:
$$\begin{aligned} dx &= \frac{1}{2} \sec^2 \frac{t}{2} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{\cos^2 \frac{t}{2}}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \end{aligned}$$
于是,原函数可以表示为:
$$\begin{aligned} \int x\sqrt{1+4x^2} dx &= \int \frac{\frac{\tan t}{2}}{\cos t} \cdot \frac{1}{2} \frac{1 + \cos t}{\cos^2 t} dt \\ &= \frac{1}{4} \int \frac{\sin t}{\cos^3 t} dt + \frac{1}{4} \int \frac{\tan t}{\cos^2 t} dt \\ &= -\frac{1}{4\cos t} + \frac{1}{4} \ln |\cos t| + C \\ &= -\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C \end{aligned}$$
因此,原函数为 $-\frac{\sqrt{1+4x^2}}{4x} + \frac{1}{4} \ln \left|\frac{\sqrt{1+4x^2}+2x}{\sqrt{1+4x^2}-2x}\right| + C$。