设稀疏矩阵中有t个非零元素,用三元组表的方式存储. 请设计一个算法,计算矩阵M的转置矩阵N
时间: 2024-10-12 07:14:53 浏览: 3
为了计算稀疏矩阵 M 的转置矩阵 N,我们可以利用稀疏矩阵三元组表的特点,即只存储非零元素及其行、列位置。这里假设三元组表是 (row, col, value),其中 row 和 col 分别代表原矩阵中非零元素的行索引和列索引,value 是对应的值。转置矩阵的存储结构也采用类似的方式,即 (col, row, value)。
算法步骤如下:
1. 初始化一个空的三元组表 T_N 来存储转置矩阵 N 的非零元素。
2. 遍历稀疏矩阵 M 的三元组表,对于每一个非零元素 (M[row][col], row, col):
a. 将新的三元组 (col, row, M[row][col]) 添加到 T_N 中,因为转置后的矩阵 N 的元素 M[row][col] 应该位于新行 col 和旧列 row 上。
3. 结束遍历后,T_N 就包含了转置矩阵 N 的所有非零元素和对应的位置。
以下是伪代码描述:
```python
def transpose_sparse_matrix(M, T_M):
T_N = [] # 用于存储矩阵 N 的三元组表
for row, col, value in T_M: # T_M 是 M 的三元组表
T_N.append((col, row, value))
return T_N
```
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1. 初始化结果矩阵 N:首先创建一个新的 n 行 t 列的矩阵 N,所有元素初始化为0,因为转置后非零元素的位置会改变。
2. 遍历原始矩阵 M 的三元组表:矩阵 M 的每个非零元素 (行索引 i, 列索引 j, 元素值 v) 都表示 M[i][j] = v。对于每一个这样的元素:
a. 将非零元素添加到新矩阵 N 的对应位置,即 N[j][i] = v。由于我们只关心非零元素,所以这个操作可以在常数时间内完成。
b. 更新计数器,记录在矩阵 N 中已经处理了 t 的元素,因为我们只需要遍历一次 M 的三元组表。
3. 结束循环并返回结果矩阵 N:当遍历完 M 的所有非零元素后,我们完成了矩阵 N 的构建。此时,时间复杂度是 O(n + t),因为我们对每一行处理了一次,并且总共有 t 个非零元素。
算法伪代码如下:
```
function transpose_sparse_matrix(M, triplets):
n = M.rows
t = len(triplets)
N = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(t)] # 创建转置矩阵
row = col = 0 # 当前在原矩阵的位置
for (row, col, value) in triplets:
N[col][row] = value # 将非零元素放到新矩阵对应位置
col += 1 # 移动到新矩阵的下一行
return N
```
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要设计一个时间复杂度为 O(n + t) 的算法来计算稀疏矩阵 M 的转置矩阵 N,我们可以按照以下步骤操作:
1. **建立三元组表**[^1]:
- 当我们遍历原始矩阵 M 中的每个非零元素 (A[i][j], v),我们添加一个三元组到新的转置矩阵 N 的三元组表中,表示为 (j, i, v)。这是因为,在转置矩阵中,原来的行变成了列,原来的列变成了行。
2. **构建转置矩阵**[^2]:
- 使用创建的三元组表,每次取出一个三元组 (k, l, v),表示原矩阵 M 的第 k 列对应的第 l 行的值 v。我们在新矩阵 N 的第 l 列(即原矩阵 M 的第 k 行)插入这个值。
具体实现可以如下所示:
```python
def transpose_sparse_matrix(A, m, n):
non_zeros = [] # 存储三元组表
for i in range(m):
for j in range(n):
if A[i][j] != 0:
non_zeros.append((j, i, A[i][j]))
N = [[0] * m for _ in range(n)] # 初始化转置矩阵
for k, l, v in non_zeros:
N[l][k] = v
return N
```