【基础】MATLAB中的信号采样与量化：理解采样定理和量化误差

# 1. 信号采样和量化概述**

信号采样和量化是数字信号处理中的两个基本过程，它们将连续时间、连续幅度的模拟信号转换为离散时间、离散幅度的数字信号。采样过程将模拟信号按照一定的时间间隔进行采样，而量化过程将采样后的信号值离散化为有限个幅度级别。

采样和量化对于数字信号处理至关重要，因为它们允许模拟信号在数字系统中进行处理、存储和传输。采样和量化过程会引入误差，因此在设计数字信号处理系统时必须仔细考虑采样率和量化级别。

# 2. 采样定理与采样率选择

### 2.1 奈奎斯特采样定理

奈奎斯特采样定理是信号处理领域的一项基本定理，它规定了采样率与信号带宽之间的关系。定理指出，为了避免采样过程中出现混叠现象，采样率必须至少是信号最高频率的两倍。

**数学公式：**

f_s ≥ 2f_m

其中：

* `f_s` 为采样率
* `f_m` 为信号最高频率

### 2.2 过采样和欠采样

**过采样**是指采样率高于奈奎斯特采样率。过采样可以提高采样信号的质量，减少混叠现象，但也会增加采样数据的量。

**欠采样**是指采样率低于奈奎斯特采样率。欠采样会导致采样信号出现混叠现象，从而失真原始信号。

### 2.3 采样率选择原则

采样率的选择应根据以下原则：

1. **信号带宽：**采样率应至少是信号最高频率的两倍。
2. **混叠容忍度：**如果允许一定程度的混叠，可以适当降低采样率。
3. **数据量：**过高的采样率会产生大量数据，应考虑数据存储和处理能力。
4. **硬件限制：**某些采样设备可能存在采样率限制。

**代码块：**

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 原始信号
t = np.linspace(0, 1, 1000)
x = np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + np.sin(2 * np.pi * 20 * t)

# 过采样
fs_over = 500
x_over = x[::int(1000 / fs_over)]

# 欠采样
fs_under = 100
x_under = x[::int(1000 / fs_under)]

# 绘制原始信号和采样信号
plt.plot(t, x, label="原始信号")
plt.plot(t[::int(1000 / fs_over)], x_over, label="过采样")
plt.plot(t[::int(1000 / fs_under)], x_under, label="欠采样")
plt.legend()
plt.show()

**代码逻辑分析：**

* `np.linspace(0, 1, 1000)`：生成 1000 个均匀分布在 0 到 1 之间的采样点。
* `np.sin(2 * np.pi * 10 * t) + np.sin(2 * np.pi * 20 * t)`：生成包含两个正弦波的原始信号。
* `x_over = x[::int(1000 / fs_over)]`：通过步长 `int(1000 / fs_over)` 对原始信号进行过采样。
* `x_under = x[::int(1000 / fs_under)]`：通过步长 `int(1000 / fs_under)` 对原始信号进行欠采样。
* `plt.plot()`：绘制原始信号和采样信号。

**参数说明：**

* `fs_over`：过采样率
* `fs_under`：欠采样率

# 3. 量化过程与量化误差

### 3.1 量化概念和量化级别

量化是将连续信号的幅度值转换为有限个离散值的编码过程。量化器将连续信号的幅度范围划分为多个离散的量化级别，每个量化级别对应一个特定的数字值。

量化级别数目决定了量化的精度。量化级别越多，量化精度越高，量化误差越小。但是，量化级别越多，所需的存储空间和处理时间也越多。

### 3.2 量化误差的类型和影响

量化误差是量化过程中产生的不可避免的误差，它会导致信号的失真。量化误差主要有以下两种类型：

- **截断误差：**将连续信号的幅度截断为最接近的量化级别。截断误差的幅度范围为 [-LSB/2, LSB/2]，其中 LSB 为量化器最小量化步长。
- **舍入误差：**将连续信号的幅度舍入到最接近的量化级别。舍入误差的幅度范围为 [-LSB/4, LSB/4]。

量化误差会影响信号的保真度和信噪比 (SNR)。量化误差越大，信号的保真度越低，SNR 越低。

### 3.3 量化误差的评估和控制

为了评估量化误差，可以使用以下指标：

- **量化噪声功率：**量化误差的平均功率，单位为瓦特。
- **信噪比 (SNR)：**原始信号功率与量化噪声功率之比，单位为分贝 (dB)。

为了控制量化误差，可以采取以下措施：

- **增加量化级别：**增加量化级别可以减少量化误差，但会增加存储空间和处理时间。
- **使用非均匀量化：**将量化级别分配到信号幅度分布的非均匀区域，可以提高量化精度。
- **使用抖动技术：**在量化过程中引入随机抖动，可以减小量化误差的幅度。

import numpy as np

# 连续信号
signal = np.linspace(-1, 1, 1000)

# 量化级别
levels = 8

# 量化器
quantizer = np.round(signal / levels) * levels

# 量化误差
error = signal - quantizer

# 量化噪声功率
noise_power = np.mean(error ** 2)

# 信噪比
snr = 10 * np.log10(np.mean(signal ** 2) / noise_power)

print(f"量化噪声功率：{noise_power}")
print(f"信噪比：{snr}")

代码逻辑：

1. 生成一个连续信号。
2. 设置量化级别。
3. 使用 `np.round()` 函数进行量化。
4. 计算量化误差。
5. 计算量化噪声功率。
6. 计算信噪比。

# 4. 信号采样与量化实践

### 4.1 采样过程的实现

**模拟信号采样**

模拟信号采样使用模数转换器（ADC）将连续时间信号转换为离散时间信号。ADC的基本原理是将输入信号与一组已知的参考电压进行比较，并输出一个与输入信号成比例的数字值。

**采样过程实现代码：**

import numpy as np

def analog_sampling(signal, sampling_rate):
  """模拟信号采样。

  Args:
    signal: 模拟信号。
    sampling_rate: 采样率。

  Returns:
    采样后的信号。
  """

  # 创建 ADC
  adc = ADC()

  # 采样信号
  sampled_signal = []
  for sample in signal:
    sampled_signal.append(adc.convert(sample))

  return np.array(sampled_signal)

**逻辑分析：**

* `analog_sampling()` 函数接受模拟信号和采样率作为参数。
* 函数创建一个 ADC 对象，并使用 `convert()` 方法将每个模拟信号样本转换为数字值。
* 采样后的信号存储在 `sampled_signal` 列表中，并返回为 NumPy 数组。

### 4.2 量化过程的实现

**量化过程**

量化过程将连续幅度的采样信号转换为具有有限数量离散幅度的数字信号。量化器将输入信号映射到一组离散的量化级别，并输出与输入信号最接近的量化级别。

**量化过程实现代码：**

import numpy as np

def quantization(signal, num_levels):
  """量化过程。

  Args:
    signal: 采样后的信号。
    num_levels: 量化级别数。

  Returns:
    量化后的信号。
  """

  # 创建量化器
  quantizer = Quantizer(num_levels)

  # 量化信号
  quantized_signal = []
  for sample in signal:
    quantized_signal.append(quantizer.quantize(sample))

  return np.array(quantized_signal)

**逻辑分析：**

* `quantization()` 函数接受采样后的信号和量化级别数作为参数。
* 函数创建一个量化器对象，并使用 `quantize()` 方法将每个采样后的信号样本映射到最接近的量化级别。
* 量化后的信号存储在 `quantized_signal` 列表中，并返回为 NumPy 数组。

### 4.3 采样与量化对信号质量的影响

采样和量化过程会引入误差，从而影响信号质量。

**采样误差**

采样误差是由将连续时间信号转换为离散时间信号造成的。采样率越高，采样误差越小。

**量化误差**

量化误差是由将连续幅度信号转换为有限数量的离散幅度造成的。量化级别数越多，量化误差越小。

**采样与量化对信号质量的影响**

采样和量化误差会影响信号的保真度、频谱和动态范围。

**频谱的影响：**采样误差会引入混叠，即信号的高频分量可能会出现在低频分量中。量化误差会引入量化噪声，即在信号中引入不必要的噪声。

**动态范围的影响：**量化误差会限制信号的动态范围，即信号的最大值和最小值之间的差值。

**表 4.1：采样与量化对信号质量的影响**

| 误差类型 | 影响 |
|---|---|
| 采样误差 | 混叠 |
| 量化误差 | 量化噪声 |
| 采样和量化误差 | 保真度降低、频谱失真、动态范围受限 |

**mermaid流程图：**

graph LR
subgraph 采样过程
    采样器 --> 采样信号
end
subgraph 量化过程
    量化器 --> 量化信号
end
subgraph 采样与量化对信号质量的影响
    采样误差 --> 混叠
    量化误差 --> 量化噪声
    采样与量化误差 --> 保真度降低
    采样与量化误差 --> 频谱失真
    采样与量化误差 --> 动态范围受限
end

# 5. MATLAB中的信号采样与量化应用

### 5.1 MATLAB中采样函数的使用

MATLAB提供了多种采样函数，用于对连续时间信号进行采样。常用的采样函数包括：

>> x = linspace(0, 2*pi, 1000);
>> y = sin(x);
>> fs = 1000;
>> t = linspace(0, 2*pi, length(y)/fs);

- `linspace`：生成均匀间隔的采样点。
- `sin`：生成正弦波信号。
- `fs`：采样率。
- `t`：采样时间点。

### 5.2 MATLAB中量化函数的使用

MATLAB提供了量化函数，用于对采样信号进行量化。常用的量化函数包括：

>> y_quantized = round(y);
>> y_quantized = quantize(y, -1:0.1:1);

- `round`：四舍五入到最接近的整数。
- `quantize`：根据指定的量化级别进行量化。

### 5.3 采样与量化对MATLAB信号处理的影响

采样和量化是信号处理中必不可少的步骤。它们对MATLAB信号处理的影响主要体现在以下几个方面：

- **采样率选择：**采样率过低会导致混叠，过高会导致浪费计算资源。
- **量化精度：**量化精度过低会导致量化误差，影响信号质量。
- **采样与量化对频谱的影响：**采样和量化会引入新的频率分量，影响信号的频谱特性。
- **采样与量化对时域信号的影响：**采样和量化会改变信号的时域波形，导致失真。