【进阶篇】MATLAB中的信道编码与解码：实现卷积码和维特比算法

# 2.1 信道编码的基本概念

信道编码是将信息比特序列转换为冗余比特序列的过程，目的是在有噪声信道上可靠地传输信息。

### 2.1.1 信道模型和信道容量

信道模型描述了信道传输数据的特性，包括噪声、衰落和干扰等因素。信道容量是信道在给定信噪比下所能传输的最大信息速率，单位为比特/秒/赫兹。

### 2.1.2 编码增益和编码效率

编码增益是信道编码后与编码前相比的信噪比提高。编码效率是编码后冗余比特数与信息比特数之比，衡量编码的冗余程度。

# 2. 信道编码理论基础

### 2.1 信道编码的基本概念

#### 2.1.1 信道模型和信道容量

信道模型描述了通信信道中信号传输过程中的噪声和失真特性。常见的信道模型包括：

- **加性白高斯噪声 (AWGN) 信道：**信道噪声为独立同分布的高斯噪声。
- **瑞利衰落信道：**信号在传输过程中受到多径效应的影响，导致信号幅度和相位发生随机变化。
- **多径衰落信道：**信号在传输过程中受到多个路径的影响，导致信号到达接收端时存在多个时延和相位差。

信道容量是指在给定信道模型和信噪比 (SNR) 条件下，信道能够可靠传输的最大信息速率。信道容量由香农定理给出：

C = B * log2(1 + SNR)

其中：

- C：信道容量（比特/秒）
- B：信道带宽（赫兹）
- SNR：信噪比

#### 2.1.2 编码增益和编码效率

编码增益是指编码后的信号在相同信噪比条件下相比未编码信号所能获得的误比特率 (BER) 降低。编码效率衡量编码方案在增加冗余信息的同时获得编码增益的能力。

编码增益和编码效率的关系如下：

编码增益 = 10 * log10(BER_uncoded / BER_coded)
编码效率 = (信息比特数 / 编码后比特数) * 100%

### 2.2 线性块码

线性块码是一种具有固定块长度和校验位数的信道编码。

#### 2.2.1 线性块码的生成矩阵和校验矩阵

线性块码的编码过程可以用生成矩阵 **G** 表示，其每一行代表一个代码字。校验矩阵 **H** 是生成矩阵的正交矩阵，用于检测错误。

**生成矩阵：**

G = [I | P]

其中：

- I：单位矩阵，表示信息比特
- P：校验矩阵，由校验多项式生成

**校验矩阵：**

H = [P^T | I]

#### 2.2.2 线性块码的编码和解码算法

**编码算法：**

代码字 = 信息比特 * G

**解码算法：**

综合征 = 代码字 * H^T
如果综合征 = 0，则代码字无错误
否则，使用错误更正算法（如 BCH 算法）纠正错误

### 2.3 卷积码

卷积码是一种具有无限块长度的信道编码。

#### 2.3.1 卷积码的生成多项式和 trellis 图

卷积码的编码过程由生成多项式 **g(D)** 表示。**trellis 图**是一种图形化表示卷积码状态转换和输出序列的工具。

**生成多项式：**

g(D) = g0 + g1 * D + g2 * D^2 + ... + gn * D^n

其中：

- g0, g1, ..., gn：生成多项式的系数

**trellis 图：**

trellis 图由节点和分支组成，节点表示编码器的状态，分支表示输入比特导致的状态转换和输出序列。

#### 2.3.2 卷积码的编码和维特比解码算法

**编码算法：**

输出序列 = 输入序列 * g(D)

**维特比解码算法：**

维特比解码算法是一种最大似然解码算法，通过搜索 trellis 图找到最有可能的路径，从而估计输入序列。

1. 初始化 trellis 图
2. 对于每个输入比特
    - 计算每个节点的度量值
    - 更新 trellis 图，选择度量值最小的路径
3. 输出最有可能的路径，即解码后的输入序列

# 3. MATLAB中信道编码的实现

### 3.1 线性块码的编码和解码

#### 3.1.1 使用 convmtx() 和 gfdeconv() 函数

**convmtx() 函数**用于生成线性块码的生成矩阵。语法如下：

G = convmtx(g, n);

其中：

* `g`：生成多项式，是一个长度为 `n` 的行向量。
* `n`：码字长度。

**gfdeconv() 函数**用于对线性块码进行解码。语法如下：

decoded_data = gfdeconv(received_data, h, p);

其中：

* `received_data`：接收到的码字，是一个长度为 `n` 的行向量。
* `h`：校验多项式，是一个长度为 `n` 的行向量。
* `p`：码字的长度。

**示例：**

考虑一个 (7, 4) 线性块码，生成多项式为 `g = [1 1 0 1]`, 校验多项式为 `h = [1 0 1 1 1]`. 使用 `convmtx()` 和 `gfdeconv()` 函数对该码字进行编码和解码：

% 生成生成矩阵
G = convmtx([1 1 0 1], 7);

% 生成校验矩阵
H = [1 0 1 1 1; 0 1 1 1 0; 0 0 0 1 1];

% 编码数据
encoded_data = mod