【进阶篇】MATLAB中的信号压缩感知与重构

# 1. 信号压缩感知的基本原理**

信号压缩感知是一种革命性的技术，它允许从严重欠采样的信号中恢复高保真信号。其基本原理在于，大多数自然信号具有稀疏性或可压缩性，即它们可以在某个变换域中表示为只有少数非零元素的稀疏向量。

压缩感知利用这一特性，通过使用随机测量矩阵对信号进行欠采样，从而获得远少于信号长度的测量值。这些测量值包含了信号的重要信息，通过求解一个优化问题，可以从这些测量值中恢复稀疏信号。

# 2. 信号压缩感知算法**

**2.1 贪婪算法**

贪婪算法是一种迭代算法，在每一步中选择最优的局部解，直至找到全局最优解。在信号压缩感知中，贪婪算法用于逐个选择基函数，以近似表示稀疏信号。

**2.1.1 正交匹配追踪 (OMP)**

OMP 算法是一种贪婪算法，通过迭代地选择与残差信号最匹配的基函数来近似稀疏信号。算法步骤如下：

输入：稀疏信号 x、基函数字典 D
输出：稀疏表示 s

初始化：残差 r = x
初始化：支持集 S = 空集
while S 的长度小于 k：
    选择与 r 最匹配的基函数 d
    更新支持集 S = S ∪ {d}
    更新残差 r = r - d * <r, d> / <d, d>
end

**参数说明：**

* `x`：稀疏信号
* `D`：基函数字典
* `k`：稀疏度（支持集的大小）

**代码逻辑分析：**

OMP 算法从一个空的支持集开始，并逐个添加最匹配的基函数。在每一步中，算法计算残差信号与字典中所有基函数的内积，并选择内积最大的基函数。然后，算法更新支持集和残差信号，并重复该过程，直到支持集达到预定义的稀疏度。

**2.1.2 压缩感知匹配追踪 (CoSaMP)**

CoSaMP 算法是一种改进的贪婪算法，它通过同时选择多个基函数来提高效率。算法步骤如下：

输入：稀疏信号 x、基函数字典 D
输出：稀疏表示 s

初始化：残差 r = x
初始化：支持集 S = 空集
while S 的长度小于 k：
    选择与 r 最匹配的 2k 个基函数
    更新支持集 S = S ∪ {2k 个基函数}
    更新残差 r = r - D_S * <r, D_S> / <D_S, D_S>
end

**参数说明：**

* `x`：稀疏信号
* `D`：基函数字典
* `k`：稀疏度（支持集的大小）

**代码逻辑分析：**

CoSaMP 算法与 OMP 算法类似，但它在每一步中选择 2k 个最匹配的基函数，而不是一个基函数。这提高了算法的效率，但可能导致支持集中的冗余基函数。

**2.2 凸优化算法**

凸优化算法是一种求解凸优化问题的算法。在信号压缩感知中，凸优化算法用于找到稀疏表示，使得重建信号与原始信号之间的误差最小。

**2.2.1 基追踪 (BP)**

BP 算法是一种凸优化算法，它通过求解以下优化问题来找到稀疏表示：

min ||x - Dx||_2^2 + lambda ||x||_1

**参数说明：**

* `x`：稀疏表示
* `D`：基函数字典
* `lambda`：正则化参数

**代码逻辑分析：**

BP 算法使用 L1 范数作为正则化项，以促进稀疏表示。算法通过迭代求解优化问题来找到稀疏表示，直到达到收敛。

**2.2.2 正则化最小二乘 (RLS)**

RLS 算法是一种凸优化算法，它通过求解以下优化问题来找到稀疏表示：

min ||x - Dx||_2^2 + lambda ||x||_2^2

**参数说明：**

* `x`：稀疏表示
* `D`：基函数字典
* `lambda`：正则化参数

**代码逻辑分析：**

RLS 算法使用 L2 范数作为正则化项，以促进平滑稀疏表示。算法通过迭代求解优化问题来找到稀疏表示，直到达到收敛。

# 3. 信号重构算法**

### 3.1 基追踪算法

基追踪算法是一种贪婪算法，它通过迭代地选择最相关的基向量来重构信号。在每一步中，算法选择与残差信号最相关的基向量，并将该基向量添加到重构信号中。

#### 3.1.1 正交匹配追踪 (OMP)

OMP 算法是一种基追踪算法，它通过正交化残差信号来选择最相关的基向量。算法从一个全零向量开始，并迭代地添加最相关的基向量，直到重构信号满足预定义的停止准则。

**代码块：**

def omp(y, A, K):
    """
    正交匹配追踪算法

    参数：
        y: 观测信号
        A: 字典矩阵
        K: 重构信号的稀疏度

    返回：
        x: 重构信号
    """

    x = np.zeros(A.shape[1])
    r = y.copy()
    for i in ra