C++实践：Jacobi与SOR迭代法详解与代码实现

本资源是一份关于C++实现Jacobi和Successive Over-Relaxation (SOR) 迭代法的实验报告。报告深入探讨了解线性方程组的两种迭代求解策略，即Jacobi迭代和SOR迭代，这两种方法在数值分析中被广泛用于处理大型稀疏线性系统。 迭代法是一种通过逐步逼近的方式解决线性方程组的方法，从初始向量出发，通过迭代公式不断更新向量，直到收敛到精确解或达到预设的近似精度。尽管直接方法可能更易得到精确解，但迭代法的优势在于其简单易实现，尤其适合大规模问题，如在工程、科学计算等领域广泛应用。 首先，让我们看Jacobi迭代，它是基于方程的分解A = D - L - U，其中D是对角矩阵，L和U分别是下三角和上三角部分。将原问题Ax = b转化为x = Mx + g，其中M是迭代矩阵，对于Jacobi迭代，M为对角矩阵，迭代公式可以表示为x^(k+1) = (D)^{-1}(b + Lx^k + Ux^(k-1))，简化后，迭代矩阵B为I - D^{-1}L - D^{-1}U，其中I是单位矩阵。 而SOR迭代则是在Jacobi迭代的基础上引入了松弛因子ω，通常取值范围在0到2之间，这有助于加速收敛。SOR迭代的迭代矩阵形式为B = (1 - ω)I + ωD^{-1}，其形式更为复杂，但当ω选取得当时，SOR迭代往往比Jacobi迭代更快。迭代公式为x^(k+1) = (1 - ω)x^k + ω(D^{-1}b + D^{-1}Lx^k + D^{-1}Ux^(k-1))。 该资源提供了一个C++实现，首先定义了一个Matrix类，包含了基本的矩阵操作功能，如矩阵乘法、数乘、求逆、加法和减法，这些是迭代求解过程的基础。程序通过do while循环执行迭代，同时设置了最大迭代次数和以向量的无穷范数作为终止条件，以确保求解的精度。 在具体实现中，Matrix类被调用来计算迭代矩阵，然后应用迭代公式进行计算，直到满足停止条件。值得注意的是，由于程序未包含收敛性检查，因此在实际使用时，可能需要额外的算法或策略来确保迭代的正确性和有效性。 这份C++实现的实验报告提供了理论背景和实际编程实践，对于理解和应用迭代法解决线性方程组，尤其是稀疏矩阵问题，具有很高的实用价值。通过阅读和理解这份资源，开发者可以提升自己在数值计算和优化算法方面的技能。