超连续偏序集的Scott S-集刻画及S-本质拓扑

∈⊆中文（简体）∈可在www.sciencedirect.com在线获取理论计算机科学电子笔记345（2019）169-183www.elsevier.com/locate/entcs超连续偏序集的Scott S-集刻画及S-本质拓扑毛旭新城科南京航空航天大学，南京210016。中国Luoshan XuXiang，2岁扬州大学Yangzhou 225002，P.R. 中国摘要本文引入了Scott S-集、偏序集的弱局部S-紧性和S-基的概念。利用这些新概念，给出了超连续（分别为，超代数）偏序集。为了给S -基提供一个拓扑解释，引入了偏序集上S -本质拓扑的新概念。利用S-本质拓扑给出了S -基的性质和刻画. 主要结果是：（1）偏序集L是超连续的，且每两个不同点可分离（2）偏序集L是超连续的，且它是弱连续的局部S-紧且对每个xU，其中U是Scott S-集，存在Scott S-集过滤器V，使得XV（3）偏序集L是超连续的，且它有一个 S-基;（4）在超连续偏序集中，子集B是每个Scott S-集U和S-e-开集G的一个S-基i，当U G =时，U G B =。反例的构造表明，超连续性是不遗传的主理想，也不是斯科特S-集。关键词：超连续偏序集; ScottS-集;弱局部 S-紧性; S-基; S-本质拓扑1引言连续格作为编程语言语义模型的概念是由Scott在[11]中引入的。后来，一个更一般的连续有向完全偏序集的概念（即，连续的DCPO或域）被国家自然科学基金（11671008，11101212）、江苏省自然科学基金（BK 20170483）、江苏省高校专业建设基金（PPZY 2015 B109）资助。1电子邮件：xuxinmao@yahoo.com2电子邮件：luoshanxu@hotmail.comhttps://doi.org/10.1016/j.entcs.2019.07.0231571-0661/© 2019作者。出版社：Elsevier B.V.这是CC BY许可下的开放获取文章（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。170X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）超级A。 A的最小值表示为：A或infA。L的非空子集D是[1][2][ 3][4] [5][6][7] Lawson在[3]中给出了dcpo是连续的，且其Scott拓扑是完全分布的一个显著特征。由于一些自然产生的偏序集是重要的但不是有向完备的，因此越来越多的场合研究失去有向集上确界的偏序集（见[4]-[8]，[12]-[15]）。利用嵌入基技术和Scott拓扑的sobrification，Xu在[12]中成功地将连续偏序集嵌入到连续整环中，并证明了偏序集是连续的且其Scott拓扑是完全分配的。Zhao和Zhou在[15]中引入了超连续偏序集的概念，它是完全分配格的推广，并研究了超连续偏序集的序结构和范畴性质。虽然超连续偏序集一般不需要是连续的，但它们与连续偏序集有一些共同的性质.为了进一步刻画超连续偏序集，我们引入了ScottS-集的概念，S -集是一类特殊的Scott开集。虽然偏序集的ScottS-集不是拓扑，但它们在某种意义上确实构成了半拓扑，并且在刻画超连续偏序集方面起到了类似于Scott开集刻画连续偏序集的作用我们还引入了偏序集的弱局部S-紧性和S-基利用这些概念，我们给出了超连续偏序集和超代数偏序集的几个刻画为了给S-基提供一个拓扑解释，我们引入了偏序集的S-本质拓扑的新概念，并研究了S-本质拓扑的一些基本性质及其与其它内蕴拓扑的关系.利用S-本质拓扑，我们从不同的角度得到了S-基的一些性质和刻画令人惊讶的是2预赛我们很快回忆一些基本的概念和结果（见[1]，[5]和[12]）。设（L，≤）是偏序集.一个主要的理想（分别，主过滤器）是一个集合的形式↓x ={y ∈ L |y ≤ x}（分别， ↑ x ={y ∈ L |x ≤ y}）。对于AL，我们写↓A={y∈L| <$x∈A，y≤x}，↑A={y∈L| <$x∈A，x≤y}。 一个子集A是一个较低的集合（分别， 上集）如果A=↓A（分别地， A=↑A）。我们说z是下限（相应地，（1）A的上界，如果A↑z（分别为，A↓z）。A的下界的集合由lb（A）表示A的上确界表示为：A或有向的，如果D的每个有限子集在D中都有上界。偏序集L是有向完全偏序集（简称dcpo），如果L的每个有向子集都有一个上确界。一个完备格是一个偏序集，其中每个子集都有一个上确界。在偏序集L中，我们说x逼近y，记作xy，如果只要D是有上确界supDy的有向集，则对某些d∈D，x≤d。我们说x是紧的，如果x逼近自身，即，xx.所有紧元素的集合记为K（L）。 对于x ∈ L，我们写↓x ={z ∈ L|zx}和↑x ={z∈L|Xz}。 偏序集L被称为是连续的（或， 代数）X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）171↓x（分别为，X=（↓xK（L）。一个连续偏序集（代数偏序集）X=如果每个元素都是所有元素的有向上确界（分别，紧凑的）近似它的元素，即，对于所有x∈L，集合↓x（分别为，↓x<$K（L））是有向的，其也是DCPO被称为连续域（分别地，代数域）。偏序集L的子集A是Scott闭的，如果↓A=A，且对任意有向集D<$A，只要supD存在，supD∈A斯科特闭集的补集形成一个拓扑，称为斯科特拓扑，记为σ（L）。众所周知，对于一个连续偏序集，斯科特拓扑有一个所有形式为↑ x的集合的基。由所有主滤波器的补生成的拓扑↑x（分别，主理想↓x）被 称 为 下 拓 扑 （ 相 应 地 ， 上 拓 扑 ） 并 且 由 ω （ L ） 表 示 （ 分 别 地 ， v（L））。所有上集的拓扑（分别为，较低的集合）被称为Alexandro拓扑（分别，对偶Alexandro拓扑），并表示为α（L）（分别，αα（L））。定义2.1（见[15]）设L是偏序集。 对于L中的任意两个元素x和y，我们记为xa y，如果对于任何子集A <$L，存在Ay，则存在a ∈ A使得x ≤ a。对于所有的x ∈ L，我们写为：|zax}，则zax ={z ∈ L |xa z}。我们说x是超紧的，如果xa x。 所有超紧元的集合记为SK（L）。下面的命题是基本的，证明被省略了。命题2.2设L是偏序集。 则对于所有x，y，u，v ∈ L：(1) xay=xy=nx≤y;(2) u≤xay ≤v=xuav;(3) 如果L有一个底，则x ∈ L\{}，有a x，但a不成立。定义2.3（见[15]）偏序集L称为超连续（或超代数）如果对所有x∈L，x=ax（分别为，x=（↓x SK（L）））。注2.4（见[15]）完备格是超连续的当且仅当它是完全分配的。每个超连续的超半格都是连续的。然而，在一般情况下，由[15，备注1.1]，超连续偏序集不一定是连续偏序集。命题2.5设L是超连续偏序集。则L上的关系a具有插值性质：xay = xz∈L使得xaz a y。证据设x，y∈L，其中xay.根据命题2.2（3），y/=<$，只要L有一个底<$。设T ={t∈L| <$z∈L，t a z a y}。 利用L的超连续性，可以直接证明T=y。从xay=<$T可以得出存在t∈T使得x≤t。因此，存在z∈L使得x≤taz a y。根据命题2.2（2），我们有xaz a y。Q172X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）∗a a一一3ScottS-集与超连续性在这一节中，我们引入了ScottS-集，并给出了超连续偏序集的几个刻画.定义3.1设L是偏序集。如果满足以下两个条件，则L的子集U称为Scott S -集：（1）U=↑U;（2）对于所有的A类，A∈U蕴涵A<$U/=<$，只要A存在。L的所有ScottS-集的族记为SS（L）. L的所有Scott S -集的补集族记为SS（L），即，SS（L）={FL|L\F∈ SS（L）}.命题3.2设L是偏序集。然后(1) F∈SS<$（L）i <$F= ↓F且对任意集合A <$F，只要 <$A存在，A∈F(2) L∈SS<$（L）;<$∈SS<$（L）i <$L无底;（3）<$x∈L，↓x∈SS<$（L）;(4) 对任意{Fα}α∈Γ<$SS<$（L），α∈ΓFα ∈SS<$（L）;(5) <$x ∈ L，x ∈ SK（L）i <$↑ x ∈ SS（L）.证据（1）、（2）、（3）、（5）。我们分两种情况来说明（4）。例（i）：L没有底。在这种情况下，通过（1）和（2），很容易验证：α∈ΓFα∈SS<$（L）.情况（ii）：L具有底部“"。 在这种情况下，由（2）得出<$f ∈SS<$（L），因此<$f ∈ Fα对于所有的α∈Γ。 然后，很容易验证α∈ΓFα∈SS（L）由（1），如所期望的。Q注3.3通过定义3.1，偏序集的所有ScottS-集都是偏序集的Scott开集。因此前缀“S -”在Scott拓扑中表示强开或特殊开。 根据命题3.2（1），完备格的ScottS-集的 补 是主理想.由于两个主理想的并不一定是主理想，很明显两个斯科特S-集的交集不一定是斯科特S-集。这揭示了完备格的Scott S -集不一定是拓扑. 然而，根据命题3.2，我们可以说偏序集的所有斯科特S-集在任意并下闭的意义上形成半拓扑。命题3.4设L是超连续偏序集。 则对于所有x ∈ L，对于所有的U∈SS（L），U={\displaystyle\，{\，\，}|y∈U}。证据对于所有x∈L，由命题2.2（2）可以得出，集合x是一个上集。对所有A<$L，如果A存在且A∈ <$x，则根据超连续偏序集上关系a的插值性质，存在z∈L使得xa zaA. 因此，存在a∈A，such，使得xaz≤a. 这表明，Ax/=。根据定义3.1，x∈SS（L）。 设U∈SS（L）.很明显我的天|y ∈U}U。相反，对于所有u∈U，它由L的超连续性得出，定义3.1，即u=au和au<$u<$。P i cka∈au<$U.Thenu∈a a我的天|y∈U}。 这表明，我的天|y∈U}。 因此，在本发明中，U={ay|y∈U}，对所有U ∈ SS（L）.QX. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）173一一一a aaaa命题3.5设L是偏序集。 则以下条件是等价的：(1) L超连续;(2) 对所有的x，y∈L，xAy蕴涵有zax和zAy;(3) 对所有的x ∈ L，L\↓ x = {λ z |z ∈ L\<$x}。证据（1）=（2）：直接从定义2.3得出。（2）=（3）：设x∈L.很明显，|z∈Lx}<$Lx. 相反，对所有u∈L\ ↓x，由uAx和（2）得出存在τ使得tAx。这表明u∈ <$t <${<$z|z∈L\<$x}。 因此，L\ ↓x<${<$z|z∈L\<$x}。（3）=（1）：对于所有x∈L，由命题2.2（1）得出x是集合ax的上界。设y是 x 的 任 意上 界 。假 设 x， y。则 x∈Ly.通 过 （ 3 ） ， 存 在z∈Ly 使 得x∈λaz<$Ly.这表明zax但zAy，与y是上界的假设相矛盾，阿格拉x.因此，x≤y且x=阿格拉x.根据定义2.3，L是超连续的。Q引理3.6设L是偏序集。(1) 设x，y ∈ L，其中xAy. 如果存在u ∈ L和一个ScottS-集U使得x∈U，uAy且↑u∈（L\U）=L，则uax.(2) 设x，y ∈ L，其中xAy. 如果存在u ∈ L和一个ScottS-集U使得x∈U，uAy，↑u∈ SK（L）=L且↑u∈SK（L）= L，uax.证据（ 1）设x，y ∈ L，其中xAy. 设存在u ∈ L和Scott S-集U使得x∈U，uAy且↑u∈（L\U）= L.对于任何存在Ax的A <$L，假设↑u<$A=<$。 这是一个很好的例子。由公式3.2（1）可知，我们有λA ∈ L\U，因此x ∈ L\U，这与x∈ U是矛盾的。因此，我们认为，↑uA/=和ua x。(2)通过（1），uax. 从↑u（L\U）=L和↑u（L\U）=可以得出：↑u=L\（L\U）=U∈SS（L）.根据命题3.2（5），我们有u∈SK（L）。Q定理3.7偏序集L是超连续的当且仅当对任意x，y∈L，xAy，存在u∈L和一个ScottS-集U使得x∈U，u Ay和↑u（L\U）= L.证据设x∈L.如果L有一个底值且x=x，那么根据命题2.2（3），我们有x=x，x=x。如果x/= 0，则存在y∈L使得xAy。因此，存在u∈L和Scott S-集U使得x/∈L\U，uAy和↑u∈（L\U） =L. 根据Lem ma3.6（1），我们有一个v e ua x，因此，vaxf=v。 根据命题2.2（1），x是集合x的上界。 设z为任意上界关于X。 假设xAz。 则存在v∈L和ScottS-集V使得x/∈ L\V，v Az和↑ v（L\V）= L. 根据引理3.6（1），我们有vax，但有vAz，这与z是λax的上界的假设相矛盾。因此，x≤z且x=x。根据定义2.3，L是超连续的。设L是一个超连续偏序集。对于任意x，y∈L，其中xAy，根据命题3.5，存在uax使得uAy。 根据命题2.5，存在z∈L使得uaz ax。设U=αz。根据命题3.4，U是ScottS-集且x∈U，↑u∈（L\U）=L。Q174X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）a+推论3.8偏序集L是超代数的当且仅当对任意x，y∈L且xA y，存在u ∈ L和ScottS-集U使得x ∈ U，u A y，↑ u ∈（L\U）= L和↑u∈（L\U）=L。证据设x∈L.如果L有一个底且x=，则从命题2.2（3）可以得出↓SK（L）=且=（↓SK（L））。如果x/= 0，则存在y∈L使得x A y。因此，存在u∈L和ScottS-集Usuch，使得x∈U，uAy，↑u∈（L\U）=L和↑u∈（L\U）=L. 于外稃3.6（1），我们有v∈SK（L）和u ax. 因此，↓x。显然，x是一个上界的集合↓x<$SK（L）。设z是↓x<$SK（L）的任意上界假设xA z。则存在v∈L和一个Scott S-集V使得x∈V，vAz，↑v<$（L\V）=L和↑v<$（L\V）=L.根据引理3.6（2），我们有v∈↓x<$SK（L），但v A z，这与 z 是 ↓x<$SK （ L ） 的 上 界 的 假 设 相 矛 盾 。 因 此 ， x≤z 且 x= （ ↓x<$SK（L））。 根据定义2.3，L是超代数的。设L是超代数偏序集。对任意x，y∈L，其中x为Ay，由定义2.3得出存在u∈↓x<$SK（L）使得u为Ay。设U=↑u。根据命题3.2（5），U是ScottS-集且x∈U，↑u∈（L\U）=L，↑u∈（L\U）=L. Q引理3.9设L是偏序集，x∈L。如果存在U∈SS（L）使得x∈U，则zax对所有z∈lb（U）.证据 对于所有具有现有supA的A组x，从定义3.1可以得出，所以A∈U，所以A<$U<$。 Ta k e ana∈AU. 对于所有情况，z∈lb（U）. 根据定义2.1，对于所有z∈lb（U），Q定理3.10偏序集L是超连续的，对任意x，y∈L，其中x ∈A，y，有存在一个滤波器U ∈ SS（L）和z ∈ lb（U）使得x ∈ U和zy.证据 对于每个x∈L，由命题2.2（1）可以得出x是一个上集合x的界设t是x的任意上界。假设x t。然后存在一个滤波器U∈SS（L）且z∈lb（U）使得x∈U且z t. 于外稃3.9，zax但zt，这与t是上界的假设相矛盾，阿格拉x.因此，x≤t且x=阿格拉x.根据定义2.3，L是超连续的。设L是一个超连续偏序集。对所有x，y∈L且x/≤ y，由命题3.5得出存在z∈L使得zax和zAy。利用超连续偏序集上关系a的插值性质，证明了存在a1∈L使得za1ax.类似地，存在一个2∈L使得zaa2a1ax，依此类推，然后存在一个序列{an}n∈N+使得zaan +1aanax，对所有n∈N+。设U ={\displaystyleU}n|n∈N}。根据命题3.2和3.4，我们有U∈SS（L）。显然，U是一个滤波器，x∈U，z∈ lb（U）。Q注3.11很明显，z ∈ lb（U）和z/≤ y意味着y/∈ U。那么，定理3.10 证明了如果偏序集是超连续的，那么每两个不同的点可以被一个也是ScottS-集的滤子定义3.12设L是偏序集。L的子集Q称为S-紧集，如果对任意{Uα}α∈ Γ<$SS（L），Q <$α∈ΓUα，存在有限集F <$Γ使得X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）175+a+有限FW，使得Qx∈F（L\ ↓x）.这表明F没有下界Qα∈FUα.定义3.13偏序集L称为局部S-紧的，如果对任意x∈U∈SS（L），存在V∈SS（L）和一个S-紧集Q使得x∈V<$Q<$U。命题3.14每个超连续偏序集是局部S-紧的。证据设L是超连续偏序集。对于每个x∈U∈SS（L），由命题3.4得出存在y∈U使得x∈ay<$<$↑ y<$U。按命题3.4 定义3.12， 拉瓜 y∈SS（L）且↑y是S-紧的.因此，在本发明中， L是本地的紧凑型。Q定义3.15偏序集L称为弱局部S-紧的，如果对每个x∈U∈SS（L），存在V∈SS（L）使得x∈V<$U且V的每个过滤子集在U中有下界。引理3.16设L是偏序集，Q ∈ L。如果Q是S-紧的，则Q的每一个过滤子集在Q中都有一个下界。证据设Q∈L是S-紧的，W∈Q是滤过的。设W在Q中没有下界. Q∈ W（x∈W↓x）=。So，Q<$L\（x∈W ↓x）=x∈W（L\↓ x）. 根据3.2（3）中的命题和Q的S-紧性，在Q中，与W是Q的过滤子集的假设相矛盾。因此，在本发明中，Q的每一个过滤子集在Q中都有一个下界。Q推论3.17每个局部S-紧偏序集是弱局部S-紧的.证据 设L是局部S-紧偏序集. 则对任意x∈U∈SS（L），存在V∈SS（L）和一个S-紧集Q使得x∈V<$Q<$U.根据引理3.16，V的每个过滤子集在U中有一个下界。所以L是弱局部S-紧的.Q引理3.18设L是超连续偏序集。则对每个x∈U∈SS（L），存在一个滤波器V∈SS（L）使得x∈V<$U。证据设L是超连续偏序集。对于每个x∈U∈SS（L），由命题3.4得出存在y∈U使得yax。通过定理3.10的唯当方向的证明，证明了存在序列{an}n∈N+，使得对任意n ∈ N，yaan +1aanax. 设V ={\displaystyleV}|n∈N}。 根据命题3.2和3.4，我们有V∈SS（L）。显然，V是一个滤波器，使得x∈V<$U。Q定理3.19设L是偏序集。 则以下是等价的：(1) L超连续;(2) L是弱局部S-紧的，对任意x∈U ∈SS（L），存在一个滤子V∈SS（L）使得x∈V<$U。证据（1）=（2）：由命题3.14，推论3.17和引理3.18得出。(2)=（1）：设L是弱局部S-紧的，对任意x∈U∈SS（L），存在一个滤波器V∈SS（L）使得x∈V<$U. 对任意x，y∈L，xAy，则x∈L\<$y∈SS（L）.通过假设，存在一个滤波器Vy∈SS（L），176X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）a a使得x∈Vy <$L\ ↓y。从L的弱局部S-紧性出发，证明了存在Wy∈SS（L），使得x∈Wy<$Vy <$L\ ↓y，且Wy的每个过滤子集在Vy中有下界.再次假设，存在一个滤波器Hy∈SS（L）使得x∈Hy<$Wy。由于Hy是Wy的一个过滤子集，存在z∈lb（Hy）使得z∈Vy.这表明z/≤y。由定理3.10，L是超连续偏序集。Q推论3.20偏序集L是超连续的当且仅当L是局部S-紧的且对任意x∈U∈SS（L），存在一个过滤器V∈SS（L）使得x∈V<$U。在本节的最后，我们构造了一些反例来说明超连续性不被各种自然子集继承众所周知，相对序连续dcpo的每个非空Scott开集也是连续的。然而，令人惊讶的是例3.21设L = P（X）是X ={a，b，c}的幂集。则作为完全分配格，（L，L）是超连续的.根据注3.3，集合L↓ {a}是Scott S-集. 但是在偏序集（L\<${a}，L\）中，很容易检验，证明了（L ↓ {a}，L ↓{b}）不是超连续的. 这个例子表明，相对序超连续格的Scott S-集不需要是超连续的。下一个例子表明超连续性对于主理想不是遗传的。例3.22设L是由N的两个平行副本构成的偏序集，其上有两个不可比较的上界a，b，使得对所有n ∈ N，a和b大于（0，n）和（1，n）.它直接表明，对于所有x∈L，x = ↓x和x= 所以L是超连续的。 但是，显然，主理想↓a是一个典型的非连续超半格。根据注2.4，主理想↓a不是超连续的。下一个例子是非超连续偏序集，其中每个主理想都是超连续的。例3.23令L =（（{0，2}×I）\ {（0，1）}）{（1，1），（0，2）}按R × R的继承序排序，其中I =[0，1]是单位区间。很容易检查X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）177一一每个主理想都是超连续的。然而，L本身并不是超连续的。为了证明这一点，假设L是一个超连续偏序集。 则由于（1，1）/≤（0，2），由定理3.7，存在u∈L和ScottS-集U使得（1，1）/∈ L\U，uA（0，2）和↑ u ∈（L\U）= L. 根据引理3.6（1），ua（1，1）和u A（0，2）应该是真的。这显然是一个矛盾。4S-碱基在这一节中，我们引入了偏序集的S-基的概念，并给出了几种识别超连续偏序集的S定义4.1设L是偏序集。L的子集B称为L的S-基，如果对于每个x∈L，有x=（<$ax<$B）。由于超连续偏序集是其自身的S-基，我们立即得到：命题4.2偏序集L有S-基当且仅当它是超连续的。引理4.3设L是偏序集，B∈L。如果对任意x，y ∈ L，且xAy，存在b ∈ B和Scott S-集U使得x ∈ U，bAy且↑ b <$（L\U）= L，则B是L的S-基.证据 设x∈L. 如果L有一个底值且x= 0，则根据命题2.2（3），我们有a=和=（aB）。如果x∈ L，则存在y∈L使得xAy.因此，存在b0∈B和ScottS-集U，使得x∈U，b0Ay，↑b0（L\U）= L. 根据引理3.6（1），b0ax，因此集合AxB是非空的。根据命题2.2（1），x是集合<$ax<$B的上界。设z是naxnB的任意上界。假设xAz。则存在b1∈B和ScottS-集V使得x∈V，b1AZ和↑b1<$（L\V）=L.根据引理3.6（1），我们有b1ax但有b1Az，这与z是axB的上界的假设相矛盾。因此，x≤z，因此x=（xB）。根据定义4.1，B是L的S-基。Q定理4.4对于偏序集L的子集B，下列条件等价：(1) B是 L的 S-基;(2) 对任意x，y∈L，且xAy，存在b∈B和ScottS-集U使得x∈U，bAy且↑b<$（L\U）=L;(3) 对于每个x ∈ L，存在子集Bx<$ $ > x <$B使得x =Bx。证据（1）=（2）：设B是L的S-基。对任意x，y∈L，且xAy，由定义4.1可以得出，存在b∈ax<$B使得bAy。从命题2.5和4.2可以得出，存在z∈L使得baz ax。设U=αz。 很清楚x∈U，↑b<$（L\U）=L，并且根据命题3.4，U是ScottS-集。(2) =（1）：紧接着引理4.3。(3)=（1）：微不足道。(1)（3）：直接从定义4.1得出。Q在超连续偏序集中，我们有以下S-基的特征178X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）一一a aaa a aa定理4.5对于超连续偏序集L的子集B，下列条件等价：(1) B是 L的 S-基;(2) 当xaa y时，存在b∈B，其中x ≤bay;(3) 当xaa y时，存在b ∈ B，且xaba y.证据（1）=（2）：假设xa y。根据（1）和定义2.1，有b∈ay<$B使得x≤bay。（2）=（3）：假设xay。通过（2），存在b0∈B，其中x≤b0ay.从命题2.5可以得出，存在z∈L使得b0az a y。 再由（2）可知，存在b∈B，其中z≤ba y.根据命题2.2（2），我们有xaba y。(3)=（1）：对于每个y∈L，通过L和（3）的超连续性可以直接验证y=（y<$B）因 此 ，根据定义4.1，B是L的S-基。 Q超代数偏序集有一个非常自然的基。推论4.6设L是偏序集。 则以下条件是等价的：(1) L是超代数的;(2) 所有超紧元SK（L）的集合构成L的一个S-基;(3) L有一个最小的S-基.证据 （1）定义（2）：根据定义2.3和定义4.1。(2)（3）：由（2）和定理4.5（3）可知，所有超紧元SK（L）的集合构成L的最小S-基.(3)（2）：假设L有最小的S-基B。它来自于命题定理4.2和定理4.5（3）证明了SK（L）≠B.假设B/SK（L）. 则存在b0∈B使得b0/∈SK（L）.由于B是S-基，所以b0=（<$b0<$B）且b0/∈（<$ab0<$B）。 这表明B0也是L的一个S-基，这与B是一个最小S-基的假设相矛盾. 因此，B≠SK（L）且SK（L）=B是L的S-基。Q5S-本质拓扑在这一节中，我们采用Rusu和Ciobanu在[10]中的方法，引入了偏序集的S-本质拓扑的概念，并给出了超连续偏序集的S-基定义5.1设L是偏序集。 设a：P（L）→ P（L）是由下式定义的算子A=x∈A<$x，对所有A∈ P（L）. 设P（L）→ P（L）为定义的算子，命题5.2设L是偏序集。对于所有的 A，B ∈ P（L）和L 的 子 集 的 任何族{Aα}α∈Γ，算子α a和α b a具有以下性质：（1）a=，a=;(2) 1998年，A=α∈ΓAα）=α∈Γ <$Aα;（3）AB=aAaB，AB=a AaB;（4）aA\aBa（A\B），aA\aBa（A\B）;A=x∈A∈ax，对所有A∈ P（L）.X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）179a a2015 - 05 - 2501：02：02（α∈ΓGα）=α∈Γ<$G α<$α∈ΓGα。这表明，（5）a（aA）a A，a（aA）a A.证据直 截 了 当 。Q定义5.3设L是偏序集，G ∈ L。若G是S - e -开集，则称G是S-e-开集.一个S-e-开集的补集叫做S-e-闭集.命题5.4设L是偏序集。然后(1) L的所有S-e-开集构成一个拓扑，称为S-本质拓扑，记为τse（L）.而且，任何S-e-开集族的交都是S-e-开的;(2) 集合族{{x} a x |x ∈ L}是τse（L）的基;(3) F∈L是S-e-闭的当且仅当F ∈aF ∈F;(4) 对所有的A∈ P（L）， A ∈A是S-e-开的， A∈A是S-e-闭的;(5) 每个下集是S-e-开的，每个上集是S-e-闭的;(6) S-本质拓扑τse（L）比对偶Alexandro拓扑更精细α（L），即，αα（L）βτse（L）。证据 （1）显然，L和ε是S-e-开的。设{Gα}α∈Γ是一类S-e-开集.α∈ΓGα是S-e-开的.很容易看出，阿格拉（α∈ΓGα）<$α∈ΓaGαα∈Γ Gα.所以，α∈ΓGα是S-e-开的.(2) 直截了当。(3) 设F是S-e-闭的. 则L\F是S-e-开的，且εa（L\F）∈L\F.假设F/f。 则存在x∈f ∈F使得x/∈F。 这说明 存在y∈F使得ya x和x∈L\F。因此，y∈F（L\F）<$L\F，与y∈F矛盾。因此，我们有aFF。相反，假设aF我们只需要证明L\F是S-e-开的，即，a（L\F）假设有λa（L\F）/λL\F。则存在a∈A（L\F）使得a/∈L\F。这表明存在b∈L\F使得aab和a∈F。 所以，b∈F <$aF<$F，与b∈L\F矛盾。因此，a（L\F）L\F且L\F是S-e-开的。(4) 由（3）、定义5.3和命题5.2（5）得出。(5) 直截了当。(6) 紧接着（5）。Q注5.5命题5.4（1）意味着S-本质拓扑等于其特殊化预序的Alexandro拓扑。命题5.6设L是偏序集。 对于所有A∈ P（L），我们有(1) clse（A）=A∈A，其中clse（A）是A在拓扑τse（L）中的闭包;(2) intse（A）=A\xaa（L\A），其中intse（A）是拓扑中A（L）;(3) a clse（A）= clse（证据（ 1）根据命题5.2，a（Aa A）=a Aa（a A）=a A（Aa A）。从命题5.4（3）可以得出，集合A_e_a_a_A是S-e-闭的。设F是任意S-e-闭集，A∈F.根据命题5.2（3）和命题5.4（3），我们有AaFF.因此，AAF。这表明clse（A）=AA。180X. 毛湖，加-地Xu/Electronic Notes in Theoretical Computer Science 345（2019）存在x∈G使得x≤是的。（1）设G∈τse（L）且n d∈G. F或所有A<$L，其中存在A∈↑G，(2) 通过（1），clse（L\A）=（L\A）a（L\A）。因此，intse（A）=L\clse（L\A）=L\（（L\A）a（L\A））=A\a（L\A）。(3) 紧接着（1）和命题5.4（4）。Q命题5.7设L是超连续偏序集。 则空间（L，τse（L））为T1当且仅当L的阶≤是离散的.证据 = τ：假设（L，τse（L））是T1。则对于每个x∈L，{x}是S-e-闭的。根据命题5.4（3），我们有ax<${x}。 (i)假设L有一个下底那就来吧{\cH00F8FB\4cHFFFFFF\fs11\b1}从命题2.2（3）可以得出L={λ}。因此，L的阶≤是离散的。（2）假设L它遵循从L的支持者那里得到的。 P i cky∈ {\displaystyle\pi ck}x{\displaystyle x} 根据这个假设，x∈{y}，因此x=y。这表明L=SK（L）。 根据命题5.6（1）和再次假设，↑x=ax（ax{x}）= clse（{x}）={x}。由于x的任意性，L的阶≤是离散的。=：假设L的阶≤是离散的。对于所有的x∈L，我们有{x}=↑x。这表明空间（L，α<$（L））是T1。根据命题5.4（6），（L，τse（L））是T1.Q命题5.8设L是一个有底偏序集的超连续偏序集。然后(1) 若G∈τse（L）且τ/∈G，则 ↑G ∈SS（L）;(2) 若G∈τse（L）是一个上集，且τ/∈G，则G ∈SS（L）;(3) 对于所有x∈L，如果 {x}∈τse（L）且x/=(4) 如果L是链，则τse（L）= α（L）。则x∈SK（L）;A. 它由L的超连续性和G∈τse（L），其中τ/=αx<$G.取一个s∈ax。则s∈G且sax≤A. 根据定义2.1，存在a∈A使得s≤a。这表明a∈A <$↑G.根据定义3.1，↑G∈SS（L）。(2) 紧接着（1）。(3) 从（1）和命题3.2（5）得出。(4) 让L成为一条链。通过命题5.4 （6 ），我们只需要证明τse（L ）<$α<$（L）。设G∈τse（L）.由于在链中，xy蕴涵xay和aG<$G，我们得出结论：↓G<$G。这表明G∈α<$（L）.因此，τse（L）=α（L）。Q注意，如果L是一个没有底偏序集的超连续偏序集，那么命题5.8中的条件因此，通过命题5.8的证明，我们有以下内容推论5.9设L是无底超连续偏序集。 然后(1) 若G∈τse（L），则 ↑G ∈SS（L）;(2) 若G∈τse（L）是上集，则G ∈SS（L）;(3) 对所有x∈L，若 {x}∈τse（L），则x ∈SK（L）;(4) 如果L是链，则τse（L）= α（L）。例5.10（1）设L ={0，a，1}按0