如何用坐标轮换法求出给定目标函数的最优解

坐标轮换法（Coordinate Descent）通常用于优化问题中的线性模型，特别是当目标函数是对某个参数的函数，而其他参数被视为常数时。这种方法适用于那些非凸但具有分块对称结构的目标函数，例如支持向量机（SVM）中的核函数的参数优化。

以下是使用坐标轮换法求解目标函数（假设我们有一个线性回归的问题，目标函数为最小化损失函数加上正则化项）的一般步骤：

1. **初始化**：选择一个初始值w0，其中w是模型的参数向量。

2. **循环**：
- **固定所有但一个参数**: 对于向量w中的每一个元素wi, 都将其视为常数，然后只更新剩下的元素wj。
- **梯度下降**或**牛顿步**：计算当前wj下目标函数关于wj的偏导数，即∂F/∂wj，然后沿着这个方向做一步迭代更新wj = wj - α * ∂F/∂wj，其中α是学习率。
- **重复**：重复上述过程，交替更新每个参数，直到满足停止条件（如达到预设的迭代次数、收敛阈值等）。

3. **结束循环**：当所有的参数都被更新过一轮后，得到的是局部最优解。

// 假设目标函数 F(w) = (1/2)*||Xw - y||^2 + λ*||w||^2
// X 是特征矩阵，y 是目标变量，λ 是正则化系数

vector<double> optimize_coordinate_descent(vector<vector<double>> X, vector<double> y, double lambda, vector<double> initial_w) {
    int n_features = X[0].size();
    vector<double> w(initial_w);
    int max_iterations = 100; // 设置最大迭代次数
    double convergence_threshold = 1e-6; // 设置收敛阈值

    for (int iteration = 0; iteration < max_iterations; ++iteration) {
        bool all_converged = true;
        for (int feature = 0; feature < n_features; ++feature) {
            double old_value = w[feature];
            // 更新单个参数
            double gradient = X.transpose()[feature] * (X*vector<double>(w) - y) + 2 * lambda * w[feature];
            w[feature] -= learning_rate * gradient;

            if (abs(w[feature] - old_value) > convergence_threshold) {
                all_converged = false;
            }
        }

        if (all_converged) {
            break;
        }
    }

    return w;
}