应用牛顿法于方程x^n-a=0(a>o),试导出一个求x=(a)^(1/n)的迭代过程。
时间: 2023-06-25 20:06:53 浏览: 88
我们可以使用牛顿迭代法来解决方程$x^n-a=0$,其中$a>0$。首先,我们需要构造一个初始值$x_0$,然后使用以下迭代公式来逼近$x=(a)^{1/n}$:
$$x_{i+1} = \frac{1}{n}\left((n-1)x_i + \frac{a}{x_i^{n-1}}\right)$$
证明如下:
我们可以使用泰勒公式来近似求解方程$x^n-a=0$,即:
$$f(x) = x^n - a$$
$$f'(x) = nx^{n-1}$$
根据牛顿迭代法的公式,我们有:
$$x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f'(x_i)}$$
将$f(x)$和$f'(x)$代入上式,得到:
$$x_{i+1} = x_i - \frac{x_i^n-a}{nx_i^{n-1}}$$
化简上式,得到:
$$x_{i+1} = \frac{1}{n}\left((n-1)x_i + \frac{a}{x_i^{n-1}}\right)$$
因此,牛顿迭代法的迭代公式为:
$$x_{i+1} = \frac{1}{n}\left((n-1)x_i + \frac{a}{x_i^{n-1}}\right)$$
使用该公式不断迭代,直到满足预设的精度要求即可得到方程的解$x=(a)^{1/n}$。
相关问题
运用牛顿迭代法求x^3-x^2-1=0在𝑥0=1.5附近的根,要求所求解有四位有效数字。
根据牛顿迭代法的迭代公式:x(n+1) = x(n) - f(x(n))/f'(x(n)),对于方程f(x) = x^3 - x^2 - 1 = 0,有f'(x) = 3x^2 - 2x。
在x0=1.5附近进行迭代,取n=0,有:
x(1) = x(0) - f(x(0))/f'(x(0))
= 1.5 - (1.5^3 - 1.5^2 - 1)/(3*1.5^2 - 2*1.5)
= 1.347826
取n=1,有:
x(2) = x(1) - f(x(1))/f'(x(1))
= 1.347826 - (1.347826^3 - 1.347826^2 - 1)/(3*1.347826^2 - 2*1.347826)
= 1.324718
取n=2,有:
x(3) = x(2) - f(x(2))/f'(x(2))
= 1.324718 - (1.324718^3 - 1.324718^2 - 1)/(3*1.324718^2 - 2*1.324718)
= 1.32471796
因此,方程x^3 - x^2 - 1 = 0在x0=1.5附近的根为1.3247(保留四位有效数字)。
用牛顿法计算如下方程的根 x^2-1=0,x_0=10^6的C语言代码
下面是用牛顿法计算方程 x^2-1=0 的根的 C 语言代码:
```c
#include <stdio.h>
#include <math.h>
double f(double x) {
return x * x - 1;
}
double f_prime(double x) {
return 2 * x;
}
double newton(double x0) {
double x = x0;
double delta = f(x) / f_prime(x);
while (fabs(delta) > 1e-6) {
x = x - delta;
delta = f(x) / f_prime(x);
}
return x;
}
int main() {
double x0 = 1e6;
double root = newton(x0);
printf("The root of x^2-1=0 is: %f\n", root);
return 0;
}
```
其中,`f(x)` 是方程的函数,`f_prime(x)` 是方程函数的导数,`newton(x0)` 是用牛顿法计算方程根的函数,`x0` 是初始值,`delta` 是每次迭代的增量。在 `main()` 函数中,我们将初始值设为 1e6,然后调用 `newton(x0)` 函数计算方程的根,并输出结果。