求由抛物面 z = 4 ( x 2 + y 2 ) 和 z = 18 − 4 ( x 2 + y 2 ) 包围的区域的体积
时间: 2024-03-31 13:32:42 浏览: 29
这两个抛物面的交点为 $x^2+y^2=2$,因此我们可以使用柱坐标系来计算该区域的体积。
设一个微小的柱体,半径为 $r$,高为 $dz$,则该柱体的体积为 $dV=\pi r^2 dz$。
在柱坐标系下,抛物面 $z=4(x^2+y^2)$ 可以表示为 $z=4r^2$,而抛物面 $z=18-4(x^2+y^2)$ 可以表示为 $z=18-4r^2$。因此,该区域的上下界分别为 $z=4r^2$ 和 $z=18-4r^2$。
我们需要计算的是这个区域的体积,因此需要对 $z$ 从 $4r^2$ 到 $18-4r^2$ 进行积分,对 $r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2}$ 进行积分:
$$V=\iiint_{\Omega} dV=\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{4r^2}^{18-4r^2} \int_{0}^{2\pi} r dz d\theta dr$$
对 $z$ 和 $\theta$ 进行积分,得到:
$$V=\int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{4r^2}^{18-4r^2} 2\pi r dz dr=\int_{0}^{\sqrt{2}} 2\pi r(18-8r^2) dr=\frac{64}{3}\pi$$
因此,该区域的体积为 $\frac{64}{3}\pi$。
相关问题
求由抛物面 z = 16 ( x 2 + y 2 ) 和 z = 18 − 16 ( x 2 + y 2 ) 包围的区域的体积。
这是一个数学问题,不属于IT类问题,但我可以回答。这两个抛物面的交点可以通过令它们相等解出,即 16 ( x^2 + y^2 ) = 18 - 16 ( x^2 + y^2 ),解得 x^2 + y^2 = 0.5。因此,这两个抛物面包围的区域是一个半径为 sqrt(0.5) 的圆盘。该圆盘的体积为 V = pi * r^2 * h,其中 r = sqrt(0.5),h = 18 - 16 * 0.5 = 10。代入计算可得 V = 5 pi。因此,由抛物面 z = 16 ( x^2 + y^2 ) 和 z = 18 − 16 ( x^2 + y^2 ) 包围的区域的体积是 5 pi。
求抛物面z=x²+y²与球面x²+y²+z²=1交线的形状
将抛物面的方程代入球面的方程,得到:
x² y² (x² y² + 1) = 1
这是一个关于 x 和 y 的高次方程,难以直接求解。但我们可以观察到该方程的对称性,因此可以进行如下变换:
令 u = x² y²,那么方程变为:
u(u+1) = 1
这是一个关于 u 的二次方程,可以很容易地求解出 u 的值。然后再代入 x² y² = u,就可以得到 x 和 y 的值。最后将 x、y、z 代入抛物面和球面的方程,就可以求出交点。我们可以发现,这个交线是一个椭圆。
因此,交线的形状是一个椭圆。
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