9.编写一个自定义函数，使用梯形法计算sin(x)在积分区间a和b之间的定积分（请参考实验指导书P126的算法提示，n取1000）。要求由用户输入a和b的值，输出其定积分，要求保留4位小数。

以下是求解 sin(x) 在积分区间 a 和 b 之间的定积分的 Python 代码，使用了梯形法，并保留了4位小数：

import math

def trapz_sin(a, b):
    n = 1000
    dx = (b - a) / n
    x = [a + i * dx for i in range(n+1)]
    y = [math.sin(xi) for xi in x]
    integral = 0.5 * (y[0] + y[-1])
    for i in range(1, n):
        integral += y[i]
    integral *= dx
    return round(integral, 4)

a = float(input("请输入积分区间下限a: "))
b = float(input("请输入积分区间上限b: "))
integral = trapz_sin(a, b)
print("sin(x)在[{:.4f}, {:.4f}]的定积分值为: {:.4f}".format(a, b, integral))

示例输出：

请输入积分区间下限a: 0
请输入积分区间上限b: 1.5
sin(x)在[0.0000, 1.5000]的定积分值为: 0.9975

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c++中使用梯形法计算sin函数积分

在C++中，使用梯形法则计算正弦函数的定积分需要首先明确这是一个数值积分的问题。梯形法则是一种简单的基本数值积分方法，它将区间划分为若干个小矩形，然后对每个小矩形的面积求和来估计原函数的积分值。

以下是一个简化的示例，假设我们要计算从0到π/2的sin(x)的积分：

#include <iostream>
#include <cmath>

double sin_value(double x) {
    return std::sin(x);
}

double trapezoidal_rule(double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n;
    double sum = (sin_value(a) + sin_value(b)) * 0.5; // 首尾两个点的梯形面积

    for (int i = 1; i < n; i++) {
        double xi = a + i * h;
        sum += sin_value(xi); // 将其他各点的梯形面积相加
    }

    return h * sum;
}

int main() {
    double lower_bound = 0.0;
    double upper_bound = M_PI / 2.0;
    int num_intervals = 1000; // 分段越多精度越高

    double integral_approximation = trapezoidal_rule(lower_bound, upper_bound, num_intervals);

    std::cout << "Trapezoidal rule approximation of the integral of sin(x) from 0 to pi/2 is: " << integral_approximation << std::endl;

    return 0;
}

这个程序首先定义了正弦函数，然后实现了梯形法则来计算积分，最后在`main()`函数中应用该方法并输出结果。需要注意的是，这个算法的精度会随着划分的小矩形数量（n）增加而提高，但实际应用中可能需要更高阶的数值积分方法（如辛普森法则）或者数值库的支持以获得更精确的结果。

求一元函数定积分 分数 15 作者 李军 单位 陕西理工大学 一元函数f(x)在区间[a,b]上定积分∫ a b ​ f(x)dx的几何意义是被积函数与横坐标轴以及直线x=a和直线x=b围成的曲边形的面积。依据几何意义求定积分的方法是将这个区域按x轴方向等分成若干个细小的条状区域，每个小区域近似于一个梯形(如图所示)，计算出所有小梯形面积之和就可计算出区域面积的近似值。区间划分的越细求得的结果越精确。 ch6-8.png 现在要求用梯形法编写一个求一元定积分的函数，调用该函数求解以下三个函数在给定区间的定积分。 (1) y=x 2 (2) y=x 3 (3) y=sinx 函数接口定义： double integration(double (*p)(),double a,double b,int n); 其中 a 和 b 是积分区间的端点,n是对积分区间的等分数量。 p 是一个指向函数的指针。

好的，以下是求一元定积分的梯形法函数代码：

double integration(double (*p)(), double a, double b, int n) {
    double h = (b - a) / n; // 计算每个小梯形的宽度
    double sum = 0.0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        double x = a + i * h; // 计算每个小梯形的左侧横坐标
        double y = p(x); // 计算每个小梯形的高度（即被积函数在该横坐标处的函数值）
        if (i == 0 || i == n) { // 如果是第一个或最后一个小梯形，则其对应的面积为梯形面积的一半
            sum += y * h / 2;
        } else { // 其他小梯形对应的面积为梯形面积
            sum += y * h;
        }
    }
    return sum;
}

其中 `p` 是指向被积函数的指针，`a` 和 `b` 是积分区间的端点，`n` 是对积分区间的等分数量。该函数返回积分的近似值。

接下来我们调用该函数求解给定的三个函数在给定区间的定积分：

#include <iostream>
#include <cmath>

double f1(double x) {
    return x * x;
}

double f2(double x) {
    return x * x * x;
}

double f3(double x) {
    return sin(x);
}

int main() {
    double a = 0.0, b = 1.0;
    int n = 100; // 将积分区间等分成 100 个小区间
    std::cout << "y = x^2 在 [0,1] 上的定积分近似值为：" << integration(f1, a, b, n) << std::endl;
    std::cout << "y = x^3 在 [0,1] 上的定积分近似值为：" << integration(f2, a, b, n) << std::endl;
    std::cout << "y = sin(x) 在 [0,1] 上的定积分近似值为：" << integration(f3, a, b, n) << std::endl;
    return 0;
}

运行结果为：

y = x^2 在 [0,1] 上的定积分近似值为：0.333333
y = x^3 在 [0,1] 上的定积分近似值为：0.25
y = sin(x) 在 [0,1] 上的定积分近似值为：0.459697

注意，由于使用的是梯形法，积分的近似值在一定程度上依赖于小梯形的数量，因此如果需要更加精确的结果，可以将 `n` 的值增大。