∫(2㏑x)/(x-1)^2dx
时间: 2023-11-23 17:07:06 浏览: 35
Let u = x - 1, then du/dx = 1 and dx = du.
Substituting, we get:
∫(2㏑x)/(x-1)^2dx = ∫(2㏑(u+1))/u^2 du
Now, we can split the integral into two parts:
∫(2㏑(u+1))/u^2 du = ∫(2㏑u)/u^2 du + ∫(2㏑)/u^2 du
The first integral can be solved using u-substitution:
∫(2㏑u)/u^2 du = ∫(2㏑)/u du
= 2㏑ ln|u| + C
= 2㏑ ln|x-1| + C
For the second integral, we can use the fact that ∫1/x^2 dx = -1/x + C:
∫(2㏑)/u^2 du = -2㏑/u + C
= -2㏑/(x-1) + C
Putting everything together, we get:
∫(2㏑x)/(x-1)^2dx = 2㏑ ln|x-1| - 2㏑/(x-1) + C
相关问题
计算∫dx/根号x^2-a^2
我们可以进行一些代数变形来求解这个积分。首先,我们可以将根号x^2-a^2写成a^2-x^2的形式,然后进行分解因式:
∫dx/根号x^2-a^2 = ∫dx/√(a^2-x^2)
= 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)
现在我们可以使用反三角函数来计算这个积分。令u=x/a,则du/dx=1/a,于是我们可以进行变量代换:
∫dx/根号x^2-a^2 = 1/√a^2 ∫dx/√(1-(x/a)^2)
= 1/√a^2 ∫du/√(1-u^2/a^2)
= arcsin(u)/a + C
= arcsin(x/a)/a + C
因此,∫dx/根号x^2-a^2的积分结果为arcsin(x/a)/a + C。
(1-lnx)/(x-lnx)^2的不定积分
我们可以通过换元法来解决这道题。
令 u = x - ln(x),则 du/dx = 1 - 1/x
化简原式,得到:
∫(1-lnx)/(x-lnx)^2 dx = ∫(1-u)/u^2 du
再次化简,得到:
∫(1-u)/u^2 du = ∫(1/u^2) du - ∫(1/u) du
= -1/u + ln|u| + C
将 u = x - ln(x) 带回去,得到:
-1/(x-lnx) + ln|x-lnx| + C
因此,原式的不定积分为 -1/(x-lnx) + ln|x-lnx| + C。