使用最速下降法求解f(x,y)=x^3-y^3+9xy的最小值，以python代码给出并画图

最速下降法是一种迭代优化算法，用于寻找函数的局部极小值。对于给定的函数f(x, y) = x^3 - y^3 + 9xy，我们可以使用梯度下降的方式来逐步逼近最小值点。首先，需要计算该函数的偏导数来找到梯度方向。以下是Python代码实现这一过程，并利用matplotlib库绘制函数图像以及下降路径：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数和梯度
def f(x, y):
    return x**3 - y**3 + 9 * x * y

def gradient_f(x, y):
    dfdx = 3 * x**2 + 9 * y
    dfdy = -3 * y**2 + 9 * x
    return dfdx, dfdy

# 初始化点
x, y = np.array([5., 5.])  # 初始猜测点
learning_rate = 0.1  # 学习率
iterations = 100  # 迭代次数

# 计算和绘制函数图像
xx, yy = np.meshgrid(np.linspace(-10, 10, 100), np.linspace(-10, 10, 100))
z = f(xx, yy)
plt.contourf(xx, yy, z, cmap='coolwarm')
plt.colorbar()
plt.title('Function f(x, y)')
plt.xlabel('x'), plt.ylabel('y')
plt.show()

# 梯度下降迭代
for _ in range(iterations):
    grad_x, grad_y = gradient_f(x, y)
    x -= learning_rate * grad_x
    y -= learning_rate * grad_y
    # 可视化下降路径
    plt.scatter(x, y, color='red', marker='o', label='Iteration %d' % (_ + 1))

# 最终结果
min_val = f(x, y)
print(f"Minimum value at (x, y) = ({x:.2f}, {y:.2f}) with a value of {min_val:.2f}")

# 添加最终点到图表
plt.plot(x, y, 'ro', markersize=10, label='Final minimum')
plt.legend()
plt.show()

这个脚本会先生成函数的等高线图，然后通过梯度下降更新点的位置并在每次迭代后将点添加到图形上，直到达到预设的迭代次数。运行此代码后，你会看到函数图像及下降路径，并得到最小值点及其对应的函数值。