假设G是一个有n个顶点和m条边的图,它的所有DFS森林包含相同数量的树向边和回边是正确的吗
时间: 2023-05-26 08:04:19 浏览: 69
是正确的。
考虑在一次深度优先搜索中,每当遇到一个未被访问过的节点,就将它标记为已访问,然后在该节点的邻居中选择一个未被访问过的节点进行递归搜索。DFS森林由所有这样的搜索树构成。
对于任何一条边(u,v),可能存在以下两种情况之一:
1.边(u,v)是一条树向边,表示从u到v的搜索树的建立;
2.边(u,v)是一条回边,表示v已经被访问过,并且是u的祖先节点,因此它和u之间的边被称为回边。
由于每个节点只能被访问一次,所以一旦在搜索过程中遇到了一条回边,就不可能再次访问到该节点,因此回边的数量是有限的。又因为DFS森林是由所有搜索树组成的,因此树向边的数量与搜索树的数量相同。因此,所有DFS森林包含相同数量的树向边和回边。
相关问题
n个顶点e条边的无向图是一个森林,那么该森林必有多少棵树
一个无向图的森林由若干个连通分量组成,每个连通分量都是一棵树,因此该森林的树的数量就是它的连通分量的数量。也就是说,该森林必有n个顶点-e条边的连通分量,其中每个连通分量都是一棵树,因此该森林有n-e棵树。
随着给定一个无向加权图,包含 n 个顶点和 m 条边,编写一段代码来找出一棵最小生成树
最小生成树算法有多种,其中比较常用的是Prim和Kruskal算法。以下是Prim算法的实现代码。
```
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN = 1000;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
struct Edge {
int to, w;
Edge(int _to, int _w): to(_to), w(_w) {}
};
int n, m; // n个顶点,m条边
vector<Edge> G[MAXN]; // 邻接表存图
bool vis[MAXN]; // 标记顶点是否已在生成树中
int dist[MAXN]; // 存储当前已经找到的生成树到每个点的最短距离
int prim(int s) { // s为起点
fill(dist, dist + n, INF); // 初始化距离
dist[s] = 0;
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> pq;
pq.push({0, s}); // {距离,顶点},按距离从小到大排序
int ans = 0; // 最小生成树的权值
while (!pq.empty()) {
int u = pq.top().second; // 取出当前距离最小的顶点
pq.pop();
if (vis[u]) continue; // 如果已经在生成树中,跳过
vis[u] = true; // 标记为已访问
ans += dist[u]; // 更新最小生成树的权值
for (auto& e : G[u]) { // 遍历u的所有邻接边
int v = e.to, w = e.w;
if (!vis[v] && dist[v] > w) { // 如果v未被访问且到u的距离更短
dist[v] = w;
pq.push({dist[v], v});
}
}
}
return ans;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
G[u].emplace_back(v, w); // 加入一条u->v的边
G[v].emplace_back(u, w); // 加入一条v->u的边
}
cout << prim(0) << endl; // 从0号顶点开始构建最小生成树
return 0;
}
```
该代码的时间复杂度为O(mlogn),其中m为边数,n为顶点数。
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