n!an求极限lim- (0<|a|<e为常数) n- ++∞n"
时间: 2023-06-25 17:05:45 浏览: 71
根据题意,我们可以先对该极限式进行化简:
lim(n→∞) n!/(n^n * e^n)
= lim(n→∞) [(1 * 2 * 3 * ... * n) / n^n] * [1 / e^n]
= lim(n→∞) [(1/n) * (2/n) * (3/n) * ... * (n/n)] * [1 / e^n]
= lim(n→∞) [(1/n) * (2/n) * (3/n) * ... * (n/n)] * lim(n→∞) [1 / e^n]
= 0 * 0
= 0
因此,所求的极限为0。
相关问题
求极限lim(n→∞)n!a^n/n^n(0<|a|<e))
我们可以使用Stirling公式来求解这个极限:
n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n
将其代入原式得到:
lim(n→∞) n!a^n/n^n = lim(n→∞) (a/e)^n * √(2πn) / n^(n-1/2)
将 lim(n→∞) √(2πn) / n^(n-1/2) 看成一个常数 C,我们只需要考虑 lim(n→∞) (a/e)^n。
因为 0 < |a| < e,所以 a/e 的绝对值小于1,因此当 n 趋向无穷大时,(a/e)^n 会趋向于0。
因此,原式的极限为:
lim(n→∞) n!a^n/n^n = lim(n→∞) (a/e)^n * C = 0
因此,原式的极限为0。
将函数 f ( z )=22( z - i ) 分别在圆环域0<| z /<1 与 1<| z - i <+∞ 内展成洛朗级数.
### 回答1:
首先,我们看一下 $f(z) = 22(z-i)$ 在 $z=i$ 处的泰勒展开式:
$$f(z) = 22(z-i) = -22i + 22(z-i)$$
将 $w=z-i$,得到:
$$f(w+i) = -22i + 22w$$
现在,我们可以将 $f(z)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 中展开成洛朗级数。为此,我们需要找到 $f(z)$ 的极点和留数。
$f(z)$ 仅有一个简单极点 $z=i$,它在圆环 $0<|z|<1$ 的内部。因此,我们可以将 $f(z)$ 展开为:
$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-i)^n$$
其中,
$$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-i)^{n+1}} dz$$
$C$ 是一个以 $z=i$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆周,其中 $0<r<1$。因为 $f(z)$ 在 $z=i$ 处的留数是 $22$,所以:
$$c_n = \begin{cases} 22, & n=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$
因此,
$$f(z) = 22(z-i) + 0 + 0 + \cdots = 22(z-i)$$
接下来,我们将 $f(z)$ 在圆环 $1<|z-i|<\infty$ 中展开成洛朗级数。为此,我们需要找到 $f(z)$ 的极点和留数。
$f(z)$ 仅有一个简单极点 $z=i$,它在圆环 $1<|z-i|<\infty$ 的外部。因此,我们可以将 $f(z)$ 展开为:
$$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-i)^n$$
其中,
$$c_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-i)^{n+1}} dz$$
$C$ 是一个以 $z=i$ 为圆心、以 $r$ 为半径的圆周,其中 $r>1$。因为 $f(z)$ 在 $z=i$ 处的留数是 $22$,所以:
$$c_n = \begin{cases} 22, & n=1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$
因此,
$$f(z) = 22(z-i) + 0 + 0 + \cdots = 22(z-i)$$
综上所述,$f(z) = 22(z-i)$ 在圆环域 $0<|z|<1$ 和 $1<|z-i|<\infty$ 内展开成洛朗级数分别为 $22(z-i)$。
### 回答2:
要将函数f(z)=22(z-i)在圆环域0<|z|<1展成洛朗级数,我们需要找到函数f(z)在该圆环域内的奇点和主要部分。
首先观察函数f(z),可以发现它在z=i处有一个一阶极点。因此,我们需要将f(z)展开成以下形式的级数:
f(z) = ∑[residue(z=i) / (z-i)] + 主要部分。
计算残数(residue):
根据极限定义,我们有residue(z=i) = lim[z→i]((z-i)f(z)) = lim[z→i](22(z-i)) = 22.
因此,在圆环域0<|z|<1内,f(z)的洛朗级数展开为:
f(z) = 22/(z-i) + 主要部分。
接下来我们将函数f(z)在圆环域1<|z-i|<∞内展成洛朗级数。
观察可知,在该圆环域中,函数f(z)没有奇点。因此,f(z)的洛朗级数展开只有主要部分,即:
f(z) = 22(z-i)。
总结起来,将函数f(z)=22(z-i)分别在圆环域0<|z|<1与1<|z-i|<∞内展成洛朗级数的结果分别为:
在0<|z|<1内:f(z) = 22/(z-i) + 主要部分。
在1<|z-i|<∞内:f(z) = 22(z-i)。
### 回答3:
要将函数f(z)=22(z-i)在圆环域0<|z|<1和1<|z-i|<∞内展开成洛朗级数,我们需要找到函数在展开点处的留数。然后,利用洛朗级数的定义,根据幂级数展开的原理进行展开。
首先考虑圆环域0<|z|<1。在这个区域内,函数f(z)的展开点为z=0。我们可以对函数f(z)在z=0附近做幂级数展开。由于这里是圆环域,我们可以采用洛朗级数展开的形式。计算留数时,我们将函数f(z)化为最简形式f(z)=22*z-22i。
由于z=0是该函数f(z)的简单极点,它的留数为a-1=22。那么根据洛朗级数的定义,我们可以得到在圆环域0<|z|<1内的展开系数如下:
f(z) = 22*(z-i) = 22z-22i
由于这里只有一个留数,展开式的主要部分只有一个项,即22z。
接下来考虑1<|z-i|<∞的区域。在这个区域内,函数f(z)的展开点为z=i。同样地,我们可以对函数f(z)在z=i附近做洛朗级数展开。计算留数时,我们将函数f(z)化为最简形式f(z)=22*(z-i)。
由于z=i是该函数f(z)的简单极点,它的留数为a-1=22。那么根据洛朗级数的定义,我们可以得到在1<|z-i|<∞内的展开系数如下:
f(z) = 22*(z-i) = 22z-22i
由于这里只有一个留数,展开式的主要部分只有一个项,即22z。
综上所述,在圆环域0<|z|<1和1<|z-i|<∞内,函数f(z)=22*(z-i)的洛朗级数展开形式均为22z-22i。
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