求函数极限，lim(5+e^x)*tan(1/x) x->正无穷

时间: 2023-02-07 22:38:55 浏览: 223

第一讲求极限(课堂例题).pdf

在本讲中，我们主要探讨了求极限的各种方法和技巧，涵盖了多项式函数、三角函数、指数函数以及对数函数的极限问题。以下是对每个题目所涉及知识点的详细解析： 1. 第一题考察了利用洛必达法则（L'Hôpital's Rule）解决0/0型未定义极限的问题，即计算lim (x→∞) [sin(ln(1/x)) / (1/x)]。我们需要确定极限形式是否符合洛必达法则的条件，然后分别对分子和分母求导。 2. 第二题是典型的0/0型极限，同样可以应用洛必达法则。这里需要计算lim (x→1) [(3x^2 - 2x) / (x^2 - e^x)]，通过多次求导找到极限值。 3. 第三题涉及到极限与反三角函数的结合，如lim (x→1) [sin(1/cos(x)) / (arccos(x) - 1)]。这类问题通常需要利用三角恒等式简化表达式，然后再求极限。 4. 第四题中，我们需要计算lim (x→0) [4/(2 tan(4x) - 3sin(4x))]，这是一道0/0型极限题，可以通过展开正切和正弦的泰勒级数来求解。 5. 第五题是指数函数的极限问题，即lim (x→∞) [(1 + (1/x))^x]^2 / (e^(2x/4))。这类题目常常利用e的定义和指数函数的性质来解决。 6. 第六题涉及到无穷大与无穷小的比较，lim (x→+∞) [(tan(x) - 1) / (x(e^x - 1))]。这里需要分析每个部分的增长速度，确定它们的相对大小。 7. 第七题是一个混合类型的极限问题，包括对数、指数和三角函数。需要对整个表达式进行适当的化简，如lim (x→1) [(cos(1/x) - 1) / (ln(1/x) - 1)]，然后使用洛必达法则。 8. 第八题是积分的极限问题，lim (t→∞) ∫(0 to t) [ln(1 + 1/(9t))]dt。这类问题通常需要将积分和极限分开处理，可能需要用到积分的性质和换元法。 9. 第九题考察了高斯函数的极限，即确定常数a和b使得lim (x→∞) [3 + ln([x])] = lim (x→∞) [3 + ln(a) + ln([x] - b)]存在。这需要深入理解高斯函数的性质和极限的性质。 10. 第十题给出了一个条件，利用已知的极限20ln(12)(limxxf xx)，推导出02( )limxf xx的值。这通常需要利用函数的连续性或一致连续性。 11. 第十一题分为两部分，第一部分要求证明对于任意x在[L, 0)内的值，存在θ使得一个积分关系成立；第二部分要求求出θ的极限。 12. 第十二题涉及到了导数的极限，即求lim (n→∞) ∫(a to x) n[f(t) - f(a)]dt，这个问题可以通过拉格朗日中值定理来解决。 13. 第十三题证明了数列1131,2(1,2,)nnxxnx的极限存在，并求解该极限。这需要分析数列的性质，例如单调性和有界性。 14. 第十四题要求求解lim (n→∞) (1/(2n))! / (n!)^2，这是一个阶乘的极限问题，可能需要用到斯特灵公式或者比较不同项的增长速度。 15. 最后一题是关于函数f(x)的序列极限，计算lim (n→∞) 2^(-n) * (f(2^n) + f(2^(n-1)))。这类问题通常需要了解函数在不同区间的行为，可能需要利用函数的连续性或单调性。以上是所有题目中涉及的数学知识点和求解策略，这些知识点涵盖了极限的基本理论、求解技巧以及实际应用。在实际学习过程中，掌握这些概念和方法对于理解和解决复杂的极限问题至关重要。

这个函数的极限是0。要求这个函数的极限，可以先考虑在 x 趋近正无穷时，5e^x 和 tan(1/x) 的取值。由于指数函数的值会无限增大，所以 5e^x 会无限增大。而 tan(1/x) 的值是有周期的，在 x 趋近正无穷时，tan(1/x) 的值会在 -1 和 1 之间来回变化。所以在 x 趋近正无穷时，函数 (5e^x) * tan(1/x) 的值会在正无穷和负无穷之间来回变化，所以它的极限就是0。

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