设f(x,x+y,x+y+z)=0且f一阶连续可偏导,函数z=z(x,y),求z=z(x,y)的全微分
时间: 2023-03-10 11:59:18 浏览: 150
答:设$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial z}=0$$则有$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}}$$$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial z}}$$所以$$z(x,y)=z(x,y)的全微分=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$
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如何求解z=x^2+e^2y的函数的一阶偏导数
对于z=x^2 e^2y,我们可以分别对x和y求偏导数:
∂z/∂x = 2xe^2y
∂z/∂y = 2x^2e^2y
因此,该函数的一阶偏导数为:
∂z/∂x = 2xe^2y
∂z/∂y = 2x^2e^2y
函数z=x(1 + y)的曲率是多少
对于函数 z = x(1 + y),我们可以通过求解曲率来得到答案。首先,我们需要计算函数的一阶和二阶偏导数。
一阶偏导数:
∂z/∂x = 1 + y
∂z/∂y = x
二阶偏导数:
∂²z/∂x² = 0 (由于一阶偏导数关于 x 的系数为常数 1)
∂²z/∂y² = 0 (由于一阶偏导数关于 y 的系数为常数 1)
根据曲率的定义,曲率 k 可以通过公式 k = |∂²z/∂x² * ∂²z/∂y² - (∂²z/∂x∂y)²| / (1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²)^(3/2) 来计算。
将上述一阶和二阶偏导数代入公式中,我们可以得到:
k = |0 * 0 - 1²| / (1 + (1 + y)² + x²)^(3/2)
k = 1 / (1 + (1 + y)² + x²)^(3/2)
因此,函数 z = x(1 + y) 的曲率为 1 / (1 + (1 + y)² + x²)^(3/2)。