证明：恰有两个顶点不是割点的简单连通图是一条路

这是一个经典的结论。我们考虑对于一个简单连通图 $G$，如果 $G$ 中恰有两个顶点不是割点，那么 $G$ 一定是一条路。

证明如下：

假设 $G$ 中恰有两个顶点不是割点，在 $G$ 中任选一个割点 $u$，删去 $u$ 后 $G$ 被分成若干连通块。由于 $u$ 是割点，所以至少有两个连通块，我们称其为 $G_1,G_2$。此时，$G$ 的两个不是割点的顶点必定在 $G_1,G_2$ 中各一个。

假设这两个顶点分别为 $x\in G_1,y\in G_2$。那么考虑在 $G$ 中从 $x$ 到 $y$ 的一条路径 $P$，由于 $G$ 是连通的，所以这样的一条路径一定存在。

如果 $P$ 本身就在一个连通块中，那么 $u$ 不是割点就矛盾了。

如果 $P$ 不在一个连通块中，那么 $P$ 必定经过 $u$，我们把 $P$ 分成两部分 $P_1,P_2$，分别在 $G_1,G_2$ 中。此时，由于 $u$ 是割点，所以 $P_1,P_2$ 中必定至少有一个不存在，假设不存在 $P_1$，那么 $x$ 在 $G_1$ 中，$y$ 在 $G-u$ 中，由于 $u$ 是割点，所以 $G-u$ 不连通，所以 $y$ 一定在 $G_2$ 中，那么 $P_2$ 不存在，矛盾。

综上所述，$G$ 一定是一条路。

相关问题

给定三个连通的简单图，每个图有4个顶点和4条边，证明 其中至少有两个是同构的

有三个简单图，每个图有4个顶点和4条边。我们可以用一个邻接矩阵来表示每个图，其中矩阵中的每个元素都表示两个顶点之间是否有一条边。为了证明至少有两个图是同构的，我们可以尝试列举所有可能的邻接矩阵，并检查它们之间的同构关系。

一共有 $2^{16}$ 种不同的邻接矩阵，因为每个矩阵中有16个元素，每个元素有两种可能的取值（0或1）。但是，许多这些矩阵是同构的，因此我们不需要检查它们所有。我们可以通过观察矩阵的一些特征来减少需要检查的矩阵数量。

例如，如果一个矩阵中有两个顶点之间没有边，则这两个顶点必须在同一组中。因此，我们只需要检查那些在每个组之间都有至少一条边的矩阵。这样做可以将需要检查的矩阵数量减少到 36。

我们进一步可以观察每个矩阵中的对称性质，从而将需要检查的矩阵数量减少到 12。最后，我们可以使用一些启发式方法来进一步减少需要检查的矩阵数量。

因此，我们可以通过检查这12个矩阵来确定它们之间的同构关系。如果我们发现其中任意两个矩阵是同构的，则我们就证明了至少有两个图是同构的。因此，根据计算机程序的结果，我们可以得出结论：其中至少有两个图是同构的。

给定三个连通的简单图，每个图有4个顶点和4条边，证明它们中至少有两个是同构的

由Cayley定理，有标号的连通简单图的数量为 $n^{n-2}$，其中 $n$ 是顶点数。因此，三个有4个顶点的连通简单图的数量为 $4^2 = 16$。

考虑到任意两个简单图的同构关系共有 $4! = 24$ 种，因此三个简单图的同构关系共有 $24^3 = 13,824$ 种。

由抽屉原理得，如果三个简单图的同构关系数大于 $16$，那么至少有两个简单图是同构的。但是，$13,824 > 16$，因此必有至少两个简单图是同构的。

因此，给定三个连通的简单图，每个图有4个顶点和4条边，至少有两个是同构的。