x^7+1怎么因式分解

$x^7+1$ 的因式分解比较复杂，需要运用复数的知识。我们可以将其写成：

$$x^7+1=(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)$$

其中 $x=-e^{i\pi/7}, -e^{3i\pi/7}, -e^{5i\pi/7}, -e^{7i\pi/7}=1, -e^{-5i\pi/7}, -e^{-3i\pi/7}, -e^{-i\pi/7}$ 是 $x^7+1=0$ 的全部根。

这里需要用到欧拉公式，即 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$。可以验证，当 $x=\frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7}, \frac{5\pi}{7}, \frac{7\pi}{7}, \frac{9\pi}{7}, \frac{11\pi}{7}, \frac{13\pi}{7}$ 时，$x^7+1=0$。

因此，$x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$ 是 $x^7+1$ 的一个因式。然后，我们可以通过长除法或其他方法将 $x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1$ 分解为两个三次多项式，再进一步分解。最终得到：

$$x^7+1=(x+1)(x^2-x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)$$

其中，$x^2-x+1$ 和 $x^4+x^3+x^2+x+1$ 都是既约多项式。

相关问题

matlab求f=x^3+5x^2+7x+3因式分解，并化成嵌套的格式

要将 f(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + 3 因式分解，并化成嵌套的格式，可以使用 Matlab 中的 `factor` 函数。具体实现如下：

syms x
f = x^3 + 5*x^2 + 7*x + 3;
g = factor(f);

这里的 `factor` 函数可以将多项式分解成若干个一次或多次因式的乘积，返回一个由这些因式组成的向量。例如，对于 f(x) = x^3 + 5x^2 + 7x + 3，`factor` 函数的返回结果为：

g = (x + 1)*(x + 3)*(x + 1)

这里的 `(x + 1)` 和 `(x + 3)` 是一次因式，`(x + 1)` 是重复的因式，它们的乘积等于原多项式 f(x)。如果需要将这个结果化成嵌套的格式，可以使用 `expand` 函数展开多项式，然后手动把重复的因式嵌套。具体实现如下：

h = expand(g);
h = h / (x + 1);
h = h / (x + 3);

这里的 `expand` 函数可以展开多项式，将其展开成标准的多项式形式。然后，我们把重复的因式 `(x + 1)` 和 `(x + 3)` 嵌套起来，得到：

h = x + 1 + 1/(x + 3)

这就是把原多项式 f(x) 化成嵌套的格式的结果。

x的四次方+1因式分解

### 回答1：

$x$ 的四次方可以写成 $x^4$。对于这个表达式，我们无法进行因式分解，因为它已经是最简形式，也就是一个不可约多项式。

如果你的意思是要分解 $x^4 - 1$，则可以使用差平方公式，将其变形为 $(x^2 + 1)(x^2 - 1)$。然后，$x^2 - 1$ 可以进一步分解为 $(x + 1)(x - 1)$，所以 $x^4 - 1$ 可以写成 $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)^2$ 的形式。

### 回答2：
首先，我们要知道x的四次方等于x的平方的平方，即x^4 = (x^2)^2。

接下来，我们可以继续因式分解x^2。假设x^2可以被因式分解为两个因式a和b的乘积，即x^2 = a * b。

那么，我们可以将x^4表示为(x^2)^2 = (a * b)^2 = a^2 * b^2。

因此，x的四次方可以因式分解为a^2 * b^2。

这里需要注意的是，因式分解并不一定能得到唯一的结果。所以x的四次方的因式分解可以有多种方式，比如(x^2) * (x^2)或者(x * x) * (x * x)。但无论怎样进行因式分解，最终结果都是由两个x的平方相乘得到的。

### 回答3：
x的四次方1因式分解可以表示为：

x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 + 1)(x^2 - 1)

其中(x^2 + 1)和(x^2 - 1)是两个因式。

进一步分解(x^2 - 1)可以得到：

x^4 - 1 = (x^2 + 1)(x - 1)(x + 1)

所以，x的四次方1因式分解为(x^2 + 1)(x - 1)(x + 1)。