级数∑1/n×n^1/n是否收敛

我们可以使用 Cauchy 科技判别法来判断这个级数的收敛性。考虑以下式子：

lim(n→∞) (1/n×n^(1/n+1)) / (1/n+1×n^(1/n+1/n+1))

= lim(n→∞) (n+1)/n^(1/n+2)

= 1

因此，由 Cauchy 科技判别法可知，当 n 趋向于正无穷时，级数∑1/n×n^1/n 与∑1/n^(1+1/n) 同时收敛或同时发散。而我们知道∑1/n^(1+1/n) 是一个发散的级数，因此，级数∑1/n×n^1/n 也是一个发散的级数。

相关问题

∑1/n＾(1+1/n)的收敛性

要判断级数∑1/n^(1+1/n)的收敛性，可以使用比较判别法。

首先，由于对于任意正整数n，都有n^(1/n)≤2，所以有：

1/n^(1+1/n) ≤ 1/n^(1+1/n)×n^(1/n) = 1/n^((n+1)/n)

考虑级数∑1/n^((n+1)/n)，使用比较判别法，将每一项与调和级数的对应项比较：

1/n^((n+1)/n) ≤ 1/n

由于调和级数∑1/n发散，所以由比较判别法可知，级数∑1/n^((n+1)/n)也发散。

综上所述，级数∑1/n^(1+1/n)也发散。

级数1/(ln(n))^ ln(n)的收敛性

我们可以使用Cauchy积分判别法来判断级数的收敛性。具体地，我们考虑以下积分：

∫[2,∞] dx / (ln(x))^ln(x)

如果这个积分收敛，那么原级数也收敛；如果这个积分发散，那么原级数也发散。

现在，我们来考虑这个积分的收敛性。我们进行换元，令 u = ln(x)，则有：

∫[2,∞] dx / (ln(x))^ln(x) = ∫[ln(2),∞] du / u^u

现在，我们需要比较这个积分和一个已知的收敛积分。我们考虑级数

∑n≥2 1/n^p

其中 p > 1。这个级数的收敛性可以使用积分判别法来证明，具体地，我们考虑以下积分：

∫[2,∞] dx / x^p

如果 p > 1，这个积分收敛，那么原级数也收敛；如果 p ≤ 1，这个积分发散，那么原级数也发散。

现在，我们来比较原积分和这个积分。我们选择 p = 2，那么有：

∑n≥2 1/n^2 ≤ ∫[1,∞] dx / x^2 = 1

因此，

∑n≥2 1/n^2 ≤ 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...

现在，我们来比较原积分和这个级数。对于任意的 n ≥ 2，我们有：

1/n^ln(n) ≤ 1/n^2

因此，

∑n≥2 1/n^ln(n) ≤ ∑n≥2 1/n^2

因为 ∑n≥2 1/n^2 收敛，所以原级数也收敛。

综上所述，级数 1/(ln(n))^ln(n) 收敛。