【进阶篇】MATLAB传递函数详解

# 2.1 传递函数的定义和表示

传递函数是表示线性时不变（LTI）系统的数学函数，它描述了系统输入和输出之间的关系。传递函数通常用以下形式表示：

H(s) = Y(s) / X(s)

其中：

* H(s) 是传递函数
* Y(s) 是系统的输出拉普拉斯变换
* X(s) 是系统的输入拉普拉斯变换
* s 是复频率变量

传递函数可以表示为多项式的比值，其中分子多项式表示系统的零点，分母多项式表示系统的极点。

# 2. 传递函数的理论分析

### 2.1 传递函数的定义和表示

传递函数是描述线性时不变 (LTI) 系统输入和输出之间关系的数学函数。它定义为系统输出拉普拉斯变换除以系统输入拉普拉斯变换的比值：

H(s) = Y(s) / X(s)

其中：

- `H(s)` 是传递函数
- `Y(s)` 是系统输出的拉普拉斯变换
- `X(s)` 是系统输入的拉普拉斯变换

传递函数可以表示为多项式的比值：

H(s) = N(s) / D(s)

其中：

- `N(s)` 是分子多项式，表示系统的零点
- `D(s)` 是分母多项式，表示系统的极点

### 2.2 传递函数的性质和定理

传递函数具有以下性质：

- **线性：**传递函数是输入和输出之间线性关系的描述。
- **时不变：**传递函数不随时间变化。
- **因果关系：**传递函数的输出仅取决于当前和过去的输入。

以下是一些重要的传递函数定理：

- **最终值定理：**当 `t` 趋于无穷大时，系统的输出等于传递函数的极点在 `s = 0` 处的残值。
- **初始值定理：**当 `t` 趋于 0 时，系统的输出等于传递函数的分子在 `s = 0` 处的残值。
- **解析定理：**传递函数在整个复平面上解析，极点除外。

### 2.3 传递函数的时域和频域分析

传递函数可以用于分析系统的时域和频域特性。

**时域分析**

传递函数可以通过反拉普拉斯变换转换为时域响应。时域响应描述了系统对输入信号的响应。

**频域分析**

传递函数可以通过计算其幅度和相位响应来进行频域分析。频域响应描述了系统对不同频率输入信号的响应。

以下代码块展示了如何使用 MATLAB 计算传递函数的时域和频域响应：

% 定义传递函数
num = [1 2 3];
den = [1 4 5 6];
H = tf(num, den);

% 时域分析
t = 0:0.01:10;
x = sin(2*pi*1*t);
y = lsim(H, x, t);

% 频域分析
[mag, phase] = bode(H, logspace(