【进阶篇】MATLAB数学优化工具箱：Optimization Toolbox使用指南

# 2.1 线性规划（LP）

### 2.1.1 LP模型和求解方法

线性规划（LP）是一种数学优化技术，用于解决具有线性目标函数和线性约束的优化问题。LP模型可以表示为：

max/min f(x) = c^T x
subject to:
Ax ≤ b
x ≥ 0

其中：

- `f(x)`：目标函数
- `x`：决策变量
- `c`：目标函数系数向量
- `A`：约束矩阵
- `b`：约束值向量

LP问题可以使用单纯形法或内点法等算法求解。单纯形法是一种迭代算法，从一个可行解开始，通过一系列步骤逐渐逼近最优解。内点法是一种直接求解法，通过在可行域内部迭代寻找最优解。

### 2.1.2 LP在实际问题中的应用

LP在实际问题中有着广泛的应用，包括：

- 资源分配：分配有限的资源以最大化或最小化目标函数（例如，利润、成本）。
- 生产计划：确定生产计划以满足需求并优化成本。
- 投资组合优化：分配投资以最大化收益并降低风险。
- 运输问题：优化货物运输路线以最小化成本或时间。

# 2. 优化理论与算法

### 2.1 线性规划（LP）

#### 2.1.1 LP模型和求解方法

**LP模型**

线性规划（LP）是一种优化问题，其中目标函数和约束条件都是线性的。LP模型的一般形式如下：

max/min f(x) = c^T x
subject to:
Ax ≤ b
x ≥ 0

其中：

* f(x) 是目标函数，要最大化或最小化
* x 是决策变量向量
* c 是目标函数系数向量
* A 是约束矩阵
* b 是约束值向量

**求解方法**

LP问题可以通过多种算法求解，包括：

* **单纯形法：**一种迭代算法，从可行解开始，逐步移动到更好的解，直到达到最优解。
* **内点法：**一种非迭代算法，直接从可行域内部开始，向最优解移动。

#### 2.1.2 LP在实际问题中的应用

LP在实际问题中有着广泛的应用，包括：

* **资源分配：**分配有限资源以最大化或最小化目标函数（例如，利润、成本）。
* **生产计划：**确定生产计划以最大化产量或最小化成本。
* **运输问题：**优化从多个来源到多个目的地的货物运输。
* **投资组合优化：**分配投资以最大化回报或最小化风险。

### 2.2 非线性规划（NLP）

#### 2.2.1 NLP模型和求解方法

**NLP模型**

非线性规划（NLP）是一种优化问题，其中目标函数或约束条件是非线性的。NLP模型的一般形式如下：

max/min f(x)
subject to:
h(x) ≤ 0
g(x) = 0

其中：

* f(x) 是目标函数
* x 是决策变量向量
* h(x) 是不等式约束向量
* g(x) 是等式约束向量

**求解方法**

NLP问题可以通过多种算法求解，包括：

* **梯度下降法：**一种迭代算法，沿负梯度方向移动，直到达到局部最优解。
* **牛顿法：**一种迭代算法，使用梯度和海森矩阵信息，以二次收敛速度逼近最优解。
* **内点法：**一种非迭代算法，直接从可行域内部开始，向最优解移动。

#### 2.2.2 NLP在实际问题中的应用

NLP在实际问题中也有着广泛的应用，包括：

* **工程设计：**优化结构、流体动力学和热力学系统的设计。
* **金融建模：**优化投资组合、风险管理和定价模型。
* **数据分析：**优化机器学习模型、数据挖掘和预测算法。

### 2.3 整数规划（IP）

#### 2.3.1 IP模型和求解方法

**IP模型**

整数规划（IP）是一种优化问题，其中决策变量必须取整数值。IP模型的一般形式如下：

max/min f(x)
subject to:
Ax ≤ b
x ≥ 0
x ∈ Z^n

其中：

* f(x) 是目标函数
* x 是决策变量向量
* A 是约束矩阵
* b 是约束值向量
* Z^n 是决策变量的整数取值域

**求解方法**

IP问题可以通过多种算法求解，包括：

* **分支定界法：**一种递归算法，将问题分解为子问题，并使用分支和定界技术找到最优解。
* **割平面法：**一种迭代算法，通过添加约束来收紧可行域，逼近最优解。

#### 2.3.2 IP在实际问题中的应用

IP在实际问题中有着广泛的应用，包括：

* **调度问题：**优化人员、设备和资源的调度，以最大化效率或最小化成本。
* **设施选址：**确定设施的位置，以最小化运输成本或最大化客户覆盖范围。
* **网络优化：**优化网络中的流量，以最大化吞吐量或最小化延迟。

# 3.1 基本函数和语法

#### 3.1.1 优化问题的定义和求解

MATLAB Optimization Toolbox 提供了一系列函数来定义和求解优化问题。核心函数是 `fminunc`，它用于求解无约束优化问题。对于有约束优化问题，可以使用 `fmincon` 函数。

**fminunc 函数**

[x, fval, exitflag, output] = fminunc(fun, x0, options)

* `fun`：目标函数，它接受一个自变量向量 `x` 并返回一个标量值。
* `x0`：初始猜测点，是一个列向量。
* `options`：一个可选结构体，用于指定优化选项，例如算法、最大迭代次数和容差。
* `x`：优化后的自变量向量。
* `fval`：优化后的目标函数值。
* `exitflag`：一个整数，表示优化过程的退出状态。
* `output`：一个结构体，包含有关优化过程的详细信息。

**fmincon 函数**

[x, fval, exitfl